Алгебраическая проблема собственных значений

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинение по английскому, конспекты уроков в 1 классе
| Добавил(а) на сайт: Антонина.

{**********************************************************
************}

Программа определения собственных значений Программа позволяет определить наибольшее главное напряжение (собственное значение) для данного трехосного напряженного состояния. Применяется метод итераций. Счет прекращается, когда изменение собственного значения становится менее 0,01 процента или число итераций превышает 50.

{**********************************************************
************}
DIMENSION S(3,3),X(3),R(3)
S(1,1) = 10.E06
S(1,2) = 5.ЕО6
S(2,1) = S(1,2)
S(1,3) = 6.E06
S(3,1) = S(1,3)
S(2,2) = 20.E06
S(2,3) = 4.E06
S(3,2) = S(2,3)
S(3,3) = З0.Е06
X(1) = 1.
Х(2) = 0.0
Х(3) = 0.0
XOLD = 0.0
I = 0

WRITE(6 100)
WRITE(6 101)
WRITE(6 102)
WRITE(6 100)
WRITE(6 104) I,X(1),X(2),X(3)
DO 1 1=1,50
CALL GMPRD (S, X, R, 3, 3, 1)
DO 2 J=1,3

2 X(J) = R(J)
CALL NORML(XLAM,X)
WRITE(6,103) I,XLAM,X(1),X(2),X(3)
IF(ABS((XOLD-XLAM)/XLAM).LE.0.0001) GO TO 3

1. XOLD = XLAM
3 WRITE(6,100)

100 FORMAT (1X 54C'-''))
101. FORMAT (2X ‘ITERATION’, ЗХ ‘ITERATION’,

11X,‘EIGENVECTOR')
102. FORMAT (3X 'NUMBER", 6X ,'(N/M**2)’, 5X, ‘X(1)’,

6X,'X(2)',6X,’X(3)’)
103 FORMAT (1X,I5,7X,E12.5,3F10.5)
104 FORMAT (1X,I5,19X,3F10.5)

STOP

END

{********************************************************
**************}

SUBROUTINE NORML(XL,X)

DIMENSION X(3)
{********************************************************
**************}
Подпрограмма norml.
Эта подпрограмма находит наибольший из трех элементов собственного вектора и нормирует собственный вектор по этому наибольшему элементу.
{********************************************************
**************}

# FIND THE LARGEST ELEMENT

XBIG = X(1)
IF(X(2).GT.XBIG)XBIG=X(2)
IF(X(3).GT.XBIG)XBIG=X(3)

# Нормирование по XBIG
X(l) = X(1)/XBIG
X(2) = X(2)/XBIG
X(3) = X(3)/XBIG
XL = XBIG
RETURN
END
{********************************************************
**************}
Результат работы программы получаем в виде:

| Номер |Собственное| Собственный вектор|
|Итерации | | |
| |Значение | |
| |( N / M ** | |
| |2 ) | |
| | | X | X | X (3) |
| | |(1) |(2) | |
|0. | |1.0000|0. |0. |
| | |0 | | |
| |0.10000 Е |1,0000|0.50000 |0.60000 |
| |08 |0 | | |
| |0.26000Е 08|0.6192|0.66923 |1.00000 |
| | |3 | | |
| |0.36392Е 08|0.4269|0.56278 |1.00000 |
| | |7 | | |
| |0.34813Е 08|0.3758|0.49954 |1.00000 |
| | |3 | | |
| |0.34253Е 08|0.3578|0.46331 |1.00000 |
| | |1 | | |
| |0.34000Е 08|0.3498|0.44280 |1.00000 |
| | |4 | | |
| |0.33870Е 08|0.3458|0.43121 |1.00000 |
| | |0 | | |
| |0.33800Е 08|0.3436|0.42466 |1.00000 |
| | |2 | | |
| |0.33760Е 08|0,3424|0.42094 |1.00000 |
| | |0 | | |
| |0.33738Е 08|0.3417|0.41884 |1.00000 |
| | |1 | | |
| |0.33726Е 08|0.3413|0.41765 |1.00000 |
| | |2 | | |
| |0.33719Е 08|0,3411|0.41697 |1.00000 |
| | |0 | | |
| |0.33714Е 08|0.3409|0.41658 |1.00000 |
| | |3 | | |
| |0.33712Е 08|0.3409|0.41636 |1.00000 |
| | |1 | | |

Отметим, что для достижения требуемой точности потребовалось 14 итераций.

Определение наименьшего собственного значения методом итераций
В некоторых случаях целесообразно искать наименьшее, а не наибольшее собственное значение. Это можно сделать, предварительно умножив исходную систему на матрицу, обратную A:

А-1АX=(А-1X.
Если обе части этого соотношения умножим на 1/(, то получим

1/( Х = A-1X.

Ясно, что это уже иная задача на собственное значение, для которой оно равно 1/(, а рассматриваемой матрицей является A-1. Максимум 1/(, достигается при наименьшем (. Таким образом, описанная выше итерационная процедура может быть использована для определения наименьшего собственного значения новой системы.

Определение промежуточных собственных значений методом итераций

Найдя наибольшее собственное значение, можно определить следующее за ним по величине, заменив исходную матрицу матрицей, содержащей лишь оставшиеся собственные значения. Используем для этого метод, называемый методом исчерпывания. Для исходной симметричной матрицы A с известным наибольшим собственным значением (1 и собственным вектором X1 можно воспользоваться принципом ортогональности собственных векторов, т. е. записать