Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Теорема 3: Если z корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени n, то z – алгебраическое число степени n.

Доказательство:

Обозначим минимальный многочлен для z через f(x). Согласно теоремы 1:

F(x)=f(x)g(x); где g(x) – многочлен с рациональными коэффициентами.

Поскольку F(x) неприводим над полем рациональных чисел и f(x) отлично от постоянного, то g(x)=c, где c – рационально. F(x)=cf(x), т.е. z – алгебраическое число n-й степени. Теорема доказана.

Пример:

Пусть p – простое число.

1), не равном p-ой степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена. xp-a=0

Если z – алгебраическое число степени n и f(x) – минимальный многочлен для z, то все корни z1, z2, … zn уравнения f(x)=0, отличные от z, называют сопряженным с z.

Один из корней совпадает с z, будем ставить его на первое место, т.е. z=z1.

2.3. Поле алгебраических чисел

Теорема 4: Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел ( и ( (для частного при ((0) являются алгебраическими числами.

Доказательство:

1) Пусть ( - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого (1, (2, … ,(n, ( и ( - корень многочлена ((x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого

(1, (2, … (m ((=(1). Рассмотрим многочлен:

F(x)=[pic](x-((i+(i))=

= (x-(1-(1) (x-(1-(2) … (x-(1-(m)

(x-(2-(1) (x-(2-(2) … (x-(2-(m)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(x-(n-(1) (x-(n-(2) … (x-(n-(m) (2)

Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин (1,
(2, … ,(n, то некоторые строки переставляется местами, но произведение в целом не изменится. Это значит, что F(x) – симметрический многочлен по отношению (1, (2, … (m. В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем аргументов: (1, (2, … ,(n и (1, (2, … (m.

Согласно известным теоремам о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от (1, (2, … ,(n и (1, (2, … (m, т.е. через целые коэффициенты, f(x) и ((x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и, следовательно, число (+(=(1+(1, являющегося, как это непосредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число.

2) Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел ( и ( есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть многочлен:

F(x)=[pic](x-(i(i) (3)

Этот многочлен имеет в качестве одного из своих корней (1(1=((.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат сила, скачать контрольную.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата