Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата



3) Пусть ( - корень многочлена ((x)=b0xn+ b1xn-1+ … bn, (bi – целые числа). Тогда -( является корнем многочлена с целыми коэффициентами.

((-x)=(-1)nb0xn+(-1)n-1b1xn-1+ … bn, а при ((0 корень многочлена xn(([pic])=b0+b1x+ … bnxn. Таким образом, вместе с ( алгебраическими числами являются -( и [pic].

Разность может быть представлена в виде (+(-(), т.е. в виде суммы двух алгебраических чисел. При ((0 частное [pic], являясь произведением двух алгебраических чисел, представляет собой так же алгебраическое число.

Если степени алгебраических чисел ( и ( равны m и n, то, взяв в качестве f(x) и ((x) соответствующие минимальные многочлены будем в (2) и
(3) иметь многочлены степени mn, и (( алгебраические числа степени, не большей, чем mn. Многочлены ((x), ((-x), и xn[pic] одинаковой степени, а, следовательно, (, -(, [pic]- алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и (-( и [pic] имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана.

Пример:

1) [pic] и [pic] алгебраические числа 2-й степени, а [pic] - алгебраическое число 4 степени. Действительно, если (=[pic], то (2=5+[pic],
24-10(2+1=0, т.е. ( корень многочлена f(x)=x4-10x2+1 с целыми коэффициентами, и f(x)=(x-[pic])(x-[pic])(x+[pic])(x+[pic]) (4)

Из теоремы единственности над полем рациональных чисел множители f(x) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства
(4). Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени меньшей, чем 4, т.е. f(x) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно теореме 3, [pic] - алгебраическое число 4-й степени.

2) (=[pic] и (=[pic], как легко видеть, это алгебраические числа 6-й степени, а произведение ((=[pic] - алгебраическое число 3-й степени.

III. Рациональные приближения алгебраических чисел.

3.1. Теорема Лиувилля.

Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших рациональных приближений: погрешность при замене алгебраического числа рациональной дробью не может быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю рациональной дроби.

Для алгебраического числа 1-й степени существует постоянная c>0, такая, что для любой рациональной дроби [pic], отличной от (, будет выполняться неравенство:

[pic] (5)

Для алгебраического числа 2-й степени можно подобрать c>0, такое, что для любой рациональной дроби, будет иметь место неравенство:

[pic] (6)

В 1844 г., французским математиком Лиувиллем, впервые была доказана общая теорема:

Теорема 5: Для любого действительного алгебраического числа ( степени n можно подобрать положительноеc, зависящее только от (, такое, что для всех рациональных чисел [pic] ([pic](() будет иметь место неравенство:

[pic] (7)

Доказательство:

Пусть f(x)=A0xn+ A1xn-1+An неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является (. В качестве f(x) можно, например, взять многочлен, получающийся из минимального для ( многочлена после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное их знаменателей.

Согласно теореме Безу, имеем: f(x)=(x-()g(x), (8) где g(x) – многочлен с действительными коэффициентами.

Возьмем произвольное (>0. |g(x)| - непрерывная, а следовательно, ограниченная функция от x в сегменте ((-(; (+((, т.е. существует положительное число M, такое, что |g(x)|(M, для всех x из этого сегмента.
Обозначим через c=min [pic], так, что [pic] и [pic].

Для произвольного рационального числа [pic] могут представиться две возможности:

1) [pic] лежит вне сегмента |(-((; (+((|, тогда [pic]

2) [pic] удовлетворяет неравенствам:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат сила, скачать контрольную.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата