Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата

Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств  и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого nN. Тогда

Н(n) dμ(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ- ной сумме.

Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L2 (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt →х(t)L2 (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть  - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств,  - некоторый ортонормированный базис в Нк.

Образуем формальное произведение

 (3.1.)

α = (α1,…, αn)  (n раз), то есть рассмотрим упорядо- ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро- ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1,…, Нn = . Его векторы имеют вид:

f =  (fαC), || f ||2 =< ∞ (3.2.)

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде- ляется формулой

(f, g) =  (3.3.)

Пусть f(k) = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f(1)… f(n) =  (3.4.)

Коэффициенты fα =  разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || =  (3.5.)

Функция Н1,…, Нn <>   линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в  - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается α.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1 f2, причем считается, что

(f1 + g1) f2 = f1 f2 + g1 f2 (3.6.)

f1 (f2 + g2) = f1 f2 + f1 g2 (3.7.)

(λ f1) f2=λ (f1 f2) (3.8.)

f1 λ (f2) = λ (f1 f2) (3.9.)

f1, g1Н1; f2, g2 Н2; λ С.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник 6, евгений сочинение.





Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата