Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода последовательных приближений. В методе Зейделя при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного xi (i>1) учитываются уже найденные ранее (k+1)-е приближения неизвестных xi-1.

Пусть дана линейная система, приведенная к нормальному виду:

[pic] (17)

Выбираем произвольно начальные приближения неизвестных и подставляем в первое уравнение системы (17). Полученное первое приближение подставляем во второе уравнение системы и так далее до последнего уравнения. Аналогично строим вторые, третьи и т.д. итерации.

Таким образом, предполагая, что k-е приближения [pic]известны, методом
Зейделя строим (k+1)-е приближение по следующим формулам:

[pic]

[pic]

где k=0,1,...,n

[pic]

Метод Ланцоша.

Для решения СЛАУ высокого порядка (1), матрица, коэффициентов которой хранится в компактном нижеописанном виде, наиболее удобным итерационным методом является метод Ланцоша [4], схема которого имеет вид:

[pic] (18)

[pic]

где

[pic]

Преимуществом данного метода является его высокая скорость сходимости к точному решению. Кроме того, доказано, что он обладает свойством
«квадратичного окончания», т.е. для положительно определенной матрицы можно гарантировано получить точное решение при количестве итераций [pic]. Размер требуемой памяти на каждой итерации не изменяется, т.к. не требует преобразование матрицы [pic]. В качестве критерия остановки данного итерационного процесса обычно используют соотношение

[pic], (19)

где [pic]- заданная точность. В качестве другого критерия сходимости иногда удобнее использовать среднеквадратичную разность между решениями, полученными на соседних итерациях:

[pic] (20)

Среднеквадратичную разность необходимо контролировать при выполнении каждых k наперед заданных итераций.

Отдельно следует рассмотреть проблему выбора начального приближения
[pic]. Доказывается, что при положительно определенной матрице [pic], итерационный процесс (18) всегда сходится при любом выборе начального приближения. При решении контактных задач, когда для уточнения граничных условий в зоне предполагаемого контакта требуется большое количество решений СЛАУ вида (1), в качестве начального приближения для первого расчета используется правая часть системы (1), а для каждого последующего пересчета - решение, полученное на предыдущем. Такая схема позволяет значительно сократить количество итераций, необходимых для достижения заданной точности (19) или (20) [10,11].

2 МЕТОДЫ КОМПАКТНОГО ХРАНЕНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ

Матрица жесткости, получающаяся при применении МКЭ, обладает симметричной структурой, что позволяет в общем случае хранить только верхнюю треугольную часть матрицы. Однако для задач с большим количеством неизвестных это так же приводит к проблеме нехватки памяти. Предлагаемый в данной работе метод, позволяет хранить только ненулевые члены матрицы жесткости. Суть его заключается в следующем.

Первоначально, с целью выявления связей каждого узла с другими, производится анализ структуры дискретизации области на КЭ. Например, для КЭ
- сетки, изображенной на рис. 1, соответствующая структура связей будет иметь вид:
|№ узла |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |
|Связи |1, 2, |1, 2, |2, 3, |3, 4, |1, 4, |1, 2, |1, 4, |
| |5, 6, 7|3, 6 |4, 6 |5, 6, 7|5, 7 |3, 4, |5, 6, 7|
| | | | | | |6, 7 | |

Тогда, для хранения матрицы жесткости необходимо построчно запоминать информацию о коэффициентах, соответствующих узлам, с которыми связан данный узел. На рис. 2 приведены матрица жесткости и ее компактное представление для сетки изображенной на рис 1 [9].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатно рассказы, бесплатно реферат на тему.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата