Двойной интеграл в механике и геометрии

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат почему ответы по алгебре
| Добавил(а) на сайт: Бугайчук.

Предыдущая страница реферата | 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | Следующая страница реферата

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).

Рис.17 Рис.18

Решение. D - заштрихованная на рис. 17 треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1. Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем:

Итак, куб. единиц.

Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху поверхностью а снизу—поверхностью , причем проекцией обеих поверхностей на плоскость Оху является область D, то объем V этого тела равен разности объемов двух “цилиндрических” тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верхним - поверхность второе тело имеет нижним основанием также область D, а верхним - поверхность (рис.18).

Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :

или

(1)

Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае, когда и неотрицательны, но и тогда, когда и - любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению

Замечание 2. Если в области D функция меняет знак, то разбиваем область на две части: 1) область D1 где 2) область D2 ,где . Предположим, что области D1 и D2 таковы, что двойные интегралы по этим областям существуют. Тогда интеграл по области D1 будет положителен и будет равен объему тела, лежащего выше плоскости Оху. Интеграл по D2 будет отрицателен и по абсолютной величине равен объему тела, лежащего ниже плоскости Оху, Следовательно, интеграл по D будет выражать разность соответствующих объемов.

б) Вычисление площади плоской области.

Если мы составим интегральную сумму для функции по области D, то эта сумма будет равна площади S,

при любом способе разбиения. Переходя к пределу в правой части равенства, получим

Если область D правильная , то площадь выразится двукратным интегралом

5. Вычисление площади поверхности.

Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис.20); поверхность задана уравнением где функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Oxy через L. Область на плоскости Oxy, ограниченную линией L, обозначим D.

Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок В каждой площадке возьмём точку Точке Pi будет соответствовать на поверхности точка Через точку Mi проведём касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид