Экстремумы функций многих переменных

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: история государства и права шпаргалки, реферат поведение
| Добавил(а) на сайт: Grishin.

Необходимый признак экстремума: Если в точке [pic] дифференцируемая функция [pic] имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

[pic], [pic].
Доказательство: Допустим, что функция [pic] имеет в точке [pic] экстремум.

Согласно определению экстремума функция [pic] при постоянном [pic], как функция одного [pic] достигает экстремума при [pic]. Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции [pic] при [pic], т. е.

[pic].

Аналогично функция [pic] при постоянном [pic], как функция одного
[pic], достигает экстремума при [pic]. Значит,

[pic]

Что и требовалось доказать.

Точка [pic], координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции [pic], называется стационарной точкой функции[pic].

Уравнение касательной плоскости к поверхности [pic]:

[pic] для стационарной точки [pic] принимает вид [pic].

Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией [pic]экстремума в точке [pic] геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.

Для отыскания стационарных точек функции [pic] нужно приравнять нулю обе ее частные производные

[pic], [pic]. (*) и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример 1: Найдем стационарные точки функции

[pic]
Система уравнений (*) имеет вид:

[pic][pic]
Из второго уравнения следует, что или [pic], или [pic].
Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдем четыре стационарные точки:

[pic]

Какие из найденных точек действительно являются точками экстремума, мы установим после приведения достаточного условия экстремума.

Иногда удается, и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непосредственно следует, что рассматриваемая функция имеет где- то максимум или минимум и пи этом системе уравнений (*) удовлетворяет только одна точка
(т. е. Одна пара значений x и y), то ясно, что эта пара и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции двух переменных могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуют острия поверхности - графика функции).

Так, например, функция [pic] имеет, очевидно, в начале координат минимум, равный нулю, но в этой точке функция недифференцируема; график этой функции есть круглый конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью [pic].

Следовательно, если иметь в виду не только дифференцируемые, но и вообще непрерывные функции, то нужно сказать, что точками экстремума могут быть стационарные точки и точки, в которых функция недифференцируема.

Вполне аналогично определяется понятие экстремума функции любого числа независимых переменных.

[pic] и устанавливаются необходимые условия экстремума. Именно: Дифференцируемая функция n переменных может иметь экстремумы только при тех значениях x, y, z,..., t, при которых равны нулю все ее n частных производных первого порядка:

[pic]