Экстремумы функций многих переменных

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: история государства и права шпаргалки, реферат поведение
| Добавил(а) на сайт: Grishin.

Так, в вышеприведенном примере из уравнения связи x+y-1=0 имеем y=1-х.
Отсюда
Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений.

Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда уравнение связи можно представить параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.

Если уравнение связи имеет более сложный вид и нам не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной. Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z= f(x, y) переменная ((x, y) = 0. Полная производная от функции z= f(x, y) равна:
Где производная y`, найдена по правилу дифференцирования неявной функции. В точках условного экстремума найденная полная производная должна ровняться нулю; это дает одно уравнение, связывающее х и у. Так как они должны удовлетворять еще и уравнению связи, то мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

Преобразуем эту систему к гораздо более удобной, записав первое уравнение в виде пропорции и введя новую вспомогательную неизвестную (:
(знак минус перед ( поставлен для удобства). От этих равенств легко перейти к следующей системе: f`x=(x,y)+((`x(x,y)=0, f`y(x,y)+((`y(x,y)=0 (*), которая вместе с уравнением связи ((x, y) = 0 образует систему трех уравнений с неизвестными х, у и (.

Эти уравнения (*) легче всего запомнить при помощи следующего правила: для того, чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции
Z= f(x, y) при уравнении связи ((x, y) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию

Ф(х,у)=f(x,y)+(((x,y)
Где (-некоторая постоянная, и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.

Указаная система уравнений доставляет, как правило, только необходимые условия, т.е. не всякая пара значений х и у, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума. Достаточные условия для точек условного экстремума я приводить не стану; очень часто конкретное содержание задачи само подсказывает, чем является найденная точка.
Описанный прием решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа имеет наглядный геометрический смысл, который я сейчас поясню.
Предположим, что на рис 4. Изображены линии уровня функции Z= f(x, y) и линия L, на которой отыскиваются точки условного экстремума.

[pic]
Если в точке Q линия L пересекает линию уровня, то эта точка не может быть точкой условного экстремума т.к. по одну сторону от линии уровня функция Z= f(x, y) принимает большие значения, а по другую - меньшие. Если же в точке P линия L не пересекает соответствующую линию уровня и, значит, в некоторой окрестности этой точки лежит по одну сторону от линии уровня, то точка P будет как раз являться точкой условного экстремума. В такой точке линия L и линия уровня Z= f(x, y) =С касаются друг друга (предполагается, что линии гладкие). И угловые коэффициенты касательных к ним должны быть равны. Из уравнения связи ((x, y) = 0 имеем y`=-(`x/(`y, а из уравнения линии уровня y`=-fx`/fy`. Приравнивая производные и произведя простейшее преобразование мы получим уравнение

Приведенное рассуждение теряет силу, если линия уровня такова, что во всех ее точках fx`=0, fy`=0. Можно рассмотреть, например, функцию z = 4-x2 и линию уровня x=0, соответствующую значению z = 4.

Можно искать условный экстремум функции f(x,y,z) при двух уравнениях связи: (1(x, y, z) = 0 и (2(x, y, z) = 0
Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом задача сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в точках рассматриваемой линии.

Метод множителей Лагранжа в этом случае принимается следующим образом: строим вспомогательную функцию
Ф(x, y, z) = f(x, y, z)+(1(1(x, y, z) +(2(2(x, y, z), где (1 и (2- новые дополнительные неизвестные, и состовляем систему уравнений для отыскания экстремумов этой функции.

Добавляя сюда два уравнения связи получаем систему уравнений с пятью неизвестными x, y, z, (1, (2. Искомыми точками условного экстремума могут быть только те, координаты х, у, z которых являются решением этой системы.

Список использованной литературы:
А.Ф. Бермант, И.Г. Абрамович. Краткий курс математического анализа.

Шипачев Учебник высшей математики

--------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]