Экстремумы функций

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: организация реферат, сочинение 6
| Добавил(а) на сайт: Юлий.

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

--------------- -------------------------------- - ----------

----- -- x2 x2 z2 y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------- -------------------------------- --

x y x y z2

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------------------------- + x z y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
2 f(x0,y0,z0)

+ --------------- -------------------------------- --

x z x y y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- ------------------------------- =0 x z y2 то экстремум может быть , а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование )

4) во всех остальных случаях f(x,y,z) не имеет ни максимума , ни минимума.

5.Экстремумы функций многих переменных.

5.1.Необходимые условия экстремума.

Пусть функция u=f(x1,x2,…,xn) определена в области D и
(x10,x20,…,xn0) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция u=f(x1,x2,…,xn) в точке (x10,x20,…,xn0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x10 x10 x20 x20 xn0 xn0 ) что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство f(x1,x2,…,xn))

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x10,x20,…,xn0) выполнялось строгое неравенство f(x1,x2,…,xn)) то говорят, что в точке (x10,x20,…,xn0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x10,x20,…,xn0) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные fx1’(x10,x20,…,xn0) ,…, f ’xn(x10,x20,…,xn0) то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим x2=x20,…,xn= xn0 сохраняя x1 переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x1 : u=f(x1, x20,…,xn0)

Так как мы предположили, что в точке (x10,x20,…,xn0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x10- , x10+ ) точки x1= x10, необходимо должно выполняться неравенство f(x1, x20,…,xn0)< f(x10,x20,…,xn0) так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x1= =x10 будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что fx1’(x10,x20,…,xn0)=0