Евклид: жизнь и сочинения

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: ответы 11 класс, конспект урока по русскому языку
| Добавил(а) на сайт: Ямщиков.

( рис. 1 )

В

С1 С1 С2

n1 раз.

( рис. 2 )

Повторяя эту операцию много раз, мы либо когда-нибудь получим нулевой отрезок-остаток Cm= nm+1Cm+1 + 0 отрезок Cm+1 окажется общей мерой отрезков
А и В, либо процесс откладывания отрезков никогда не закончится.

В последнем случае говорят, что отрезки А и В несоизмеримы ( т.е. не имеют общей меры ). Числа n0, n1, … называются «неполными частными».

Если обнаружена общая мера величин А и В и она равна некоторой величине D, то А= ?D, B=?D и отношение А и В есть отношение ? к ?.

Интересно, что Евклид построил алгоритм отдельно для чисел ( т.е. натуральных чисел ) и отдельно для отрезков ( величин ).

Итак, алгоритм Евклида позволяет не только находить общую меру ( НОД ) двух чисел, сокращать на НОД дроби, но и «округлять» рациональные числа.

Теория отношений Евдокса.

В «Началах» изложена другая теория отношений, созданная Евдоксом. Она отвечала на вопрос: как можно сравнивать отношения чисел и что происходит с ними в результате арифметических операций?

Два отношения a/b и c/d считаются равными, если для любых натуральных чисел М, N выполняются условия: aM > bN cM > dN, aM = bN cM = dN,

aM < bN cM < dN.

Такой подход к сравнению отношений был революционным прорывом в построении теории действительного числа ( пока только для рациональных положительных чисел ).

Теория иррациональностей.

Видимо, именно алгоритм Евклида привёл пифагорейца к установлению несоизмеримости стороны и диагонали квадрата ( т.е. иррациональности числа

?2 ). Это открытие существенно повлияло на дальнейшее развитие и математики, и философии. Оно показало, что ложен основной принцип пифагорейцев «всё есть число». Они считали, что всякую величину можно выразить числом ( натуральным ) или отношением чисел, но оказалось, что диагональ квадрата со стороной 1 не выражалась отношением чисел.

Теэтет Афинский развил этот подход и доказал, что квадратные корни из квадратных чисел рациональны, а из неквадратных – иррациональны. Кроме того, кубические корни из кубических чисел рациональны, а из некубических – иррациональны.

Более того, он классифицировал некоторые типы иррациональностей, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Геометрическая алгебра.

Важным достижением античной математики стало создание так называемой геометрической алгебры, зачатки которой имелись ещё у вавилонян.

Мы знаем, что в Древней Греции не было возможности записывать буквами алгебраические формулы и уравнения. Кроме того, большие проблемы возникали при операциях с натуральными числами. Античные математики обошли эту проблему, переведя все алгебраические выражения первой и второй степени на геометрический язык. Все построения были планиметрическими.

Видимо, именно алгебраическими потребностями объясняется столь бурное развитие планиметрии в античности.

Платоновы тела.