Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

графическом - иллюстрация хода доказательства с помощью графов, блок-схем, различных рисунков.

Системы графических построений позволяют легче и точнее установить логические отношения между отдельными частями теоремы. Заметим, что вербально-логическое представление доказательства теорем является необходимым выражением представления доказательства любой теоремы. Вербальное представление в комбинации с искусственными языками обеспечивают аналитико-синтетическую работу мозга. Они помогают вычленить главную часть в теореме, определить последовательность, записав ход доказательства в виде блок-схемы, установить все логические связи и т.д., определить единообразную конструкцию, форму доказательства. Однако логическая и графическая символики в процессе обучения играют вспомогательную инструментальную роль по отношению к мыслительной деятельности студента.

Рассмотрим в качестве конкретного примера теорему Кантора:

Пусть и - два непустых множества и множество содержит по крайней мере, два элемента. Тогда мощность множества всевозможных отображений множества во множество больше мощности множества .

Вербальное представление её доказательства можно сопроводить краткой записью этапов с использованием математической символики ( своего рода опорными сигналами), условной геометрической иллюстрацией, и наконец, блок-схемой доказательства. Три указанные вспомогательные сопровождения могут иметь следующий вид:

I.

1.

2. Предположим:

II.

III. Блок-схема доказательства:

Подобные логические и графические иллюстрации помогают не только видеть общую стратегию доказательства, но и представить последовательность изложения с обозначением основных логических акцентов. Следует заметить, что, в силу различия индивидуальных особенностей восприятия студенты, по разному реагируют на символьно-графические сопровождения, однако, опыт показывает, что при необходимости воспроизведения доказательства геометрическая иллюстрация используется подавляющим большинством студентов.

Геометрическая иллюстрация особенно важна при изучении геометрических дисциплин. Например, решение даже простых задач по аналитической геометрии в [1] лучше сопровождать схематическими рисунками, что способствует развитию пространственного воображения, выработке умения нахождения общей стратегии решения задачи и, в целом, формированию логико-информационных умений.

К сожалению, имеющееся в математическом образовании стремление к формированию целостного мышления, умения воспринимать информацию в свёрнутом виде, к изучению материала с общих позиций, с высокой степенью абстракции, привело к предпочтительному использованию аналитических и алгебраических подходов, без обращения к геометрическим представлениям. Без должной глубины проработки и соответствующих методик такие подходы ведут к формальному усвоению информации, неумению даже в простейших ситуациях применить соответствующие математические методы и факты. О роли геометрии и её иллюстраций А.Д. Александров писал: "Особенность геометрии, выделяющая её не только среди остальных частей математики, но и среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга" [4]. Недостаточное внимание к использованию геометрических образов приводит к тому, что студент часто поиск решения задачи начинает с механического отыскания подходящих формул, уравнений, а отнюдь не с геометрического осмысления условий задачи. В конечном итоге при решении геометрических задач, где, как правило, отсутствуют какие-либо готовые алгоритмы, он, не найдя подходящей формулы, просто перестаёт думать.

Удобство использования алгоритмов - точных предписаний, определяющих последовательность шагов, ведущих от исходных данных к искомому результату, порождает желание применять их как можно шире. Чаще всего применяются так называемые вычислительные алгоритмы, являющиеся основными объектами численных методов. Среди многих свойств, которыми характеризуется алгоритм, имеется свойство массовости, обозначающее его применимость к целому классу задач: нахождение произведения матриц, матрицы, обратной к данной, решение системы линейных уравнений по методу Гаусса, нахождение корней квадратного уравнения и т.д.. Каждый из этих алгоритмов применим к бесконечному множеству объектов соответствующего вида. Теория разрешима, если существует алгоритм, позволяющий определять тождественно-истинные формулы. Математические теории, как правило, за редким исключением (например, исчисление высказываний) не являются разрешимыми. Тогда возникает вопрос о существовании алгоритмов для определённого класса формул или даже для отдельных формул. Последние уже не будут алгоритмами в обычно употребляемом понимании этого термина, хотя несомненно запись хода решения задачи или доказательства теоремы в виде последовательности чётко обозначенных шагов весьма полезна и способствует развитию как логико-информационных умений, выражающихся в умении представить последовательность изложения информации, так и речевых коммуникативных умений, связанных с реализацией адекватной формы изложения материала.

Далеко не для всякой теоремы легко построить геометрическую иллюстрацию доказательства. К подобным относится теорема Кантора - Бернштейна: Если два множества и таковы, что множество эквивалентно некоторому подмножеству множества , а - некоторому подмножеству множества , то множества и эквивалентны.

Для будущего преподавателя математики логико-информационные умения сформулировать задачу, вычлененить в информации главное следует понимать не как способность механического воспроизведения формулировки, а как умения передачи смысла "своими словами", такого понимания формулировки, которое позволяет видеть конкретное проявление данного математического факта. Применительно к только что сформулированной теореме это означает, что студент в состоянии привести пример двух конкретных множеств и и их конкретных подмножеств и , для которых выполняются условия теоремы.

В представленном выше перечислении логико-информационных и речевых умений были указаны важнейшие с нашей точки зрения. Однако в [5] в качестве основных логико-информационных умений обозначены следующие:

умение формулировать тезис, подбирать аргументы, строить доказательства, воспринимать их;

располагать высказывания, планировать соразмерность частей, их логичность и последовательность;

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат сша, реферат группы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата