--------------------
БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.

Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями ( и (. Докажем, АВ=СD. Плоскость (, проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями ( и
( по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м
Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.

Sп.п.=2(R(H+R)

БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости ( и ( пересекаются с плоскостью (. Докажем, что а( ( b.
Эти прямые лежат в одной плоскости (() и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. ( и ( имели бы общ. точку, что невозможно, т.к. (( ( (. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а( ( b.

2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H

БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим

две плоскости ( и (. В плоскости ( лежат пересекающиеся в т.М прямые a и b, а в ( -

- прямые а1 и b1, причем а( ( а1 и b( ( b1.

Докажем, что плоскос.

-ти ( и ( не параллель ны. Тогда они перес. по прямой с. Мы получили, что плоскость ( проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости (, и пересекает плоскость ( по прямой с. Отсюда следует, что а( ( с.

Но плоскость ( проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости (.
Поэтому b ( ( с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, ( ( с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая ( ( с.
Значит, наше допущение неверно и (( ( (. Ч.Т.Д.

- - - - - - - -

БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть (-плоскость, а - не лежащая в ней прямая и а1 - прямая в плоскости (, параллельная прямой а.

Проведем плоскость (1 ч/з прямые а и а1.

Она отлична от (, т.к. прямая а не ле- жит в плоскости (. Плоскости ( и (1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость (, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллель- ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость (, а значит, параллельна плоскости (. Ч.Т.Д.

2. Vпараллелепипеда= Sосн.*H

БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и

М плоскость (, а ч/з М в

в плоскости ( прямую b( ( a. Докажем, что b( ( a единственна.

Допустим, что существует другая прямая b2( ( a, и проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести плоскость (2, которая проходит ч/з М и а, след-но, по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА
ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она совпадает с (. По аксиоме о параллельных прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д.

2. Vус.кон.=1/3*(H(R12+R1R2+R22)