Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

[pic]

[pic]

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементом того же множества, то есть подмножество Н группы S4 является подгруппой группы S4, причем перестановки коммутируют. Значит, Н – коммуникативная подгруппа.

Составим таблицу умножения подгруппы Н.
|* |Е |[pic] |[pic] |[pic] |
|Е |Е |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |Е |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |Е |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |Е |

4. Опишите все подгруппы S4, которые состоят из трех перестановок.
Сколько их?

Решение.

1) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок второго порядка.

Если Н – такая подгруппа, то она состоит из следующих элементов:
[pic], то есть [pic].

Если [pic] - перестановка второго порядка, то [pic], значит [pic].

Пусть [pic], значит [pic], тогда [pic] [pic], то есть [pic]=[pic], а у нас [pic] и [pic] должны быть различными. Следовательно, [pic], то есть
[pic], [pic] - перестановка второго порядка.

Но легко непосредственно проверить, что произведение любых двух элементов второго порядка является элемент третьего порядка. Значит, при таких предположениях произведение [pic] не принадлежит Н и Н не является подгруппой.

Следовательно, в группе S4 не существует подгрупп, состоящих из трех перестановок второго порядка.

2) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка.

Пусть [pic] - такая подгруппа. Если [pic] - перестановка третьего порядка, то есть [pic], тогда перестановки [pic] различные, а [pic].
Следовательно, перестановка [pic] тоже третьего порядка. Непосредственно легко проверить, что произведением двух элементов третьего порядка является элемент третьего порядка, то есть произведение [pic] принадлежит G и G является подгруппой. В нашем случае существует 4 подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка:

1 - [pic]

2 - [pic]

3 - [pic]

4 - [pic].

3) Рассмотрим подгруппы, которые состоят из трех перестановок четвертого порядка.

Пусть [pic] - такая подгруппа. Если [pic] - перестановка четвертого порядка, то есть [pic], то перестановки [pic] различные. Тогда получается, что в подгруппе М должны содержаться четыре перестановки: [pic], а у нас подгруппа М по условию должна содержать три перестановки. Значит, перестановка [pic] не может быть четвертого порядка.

Следовательно, симметрическая группа S4 содержит всего 4 трехэлементных подгруппы.

5. Какая из подгрупп симметрической группы S3: [pic] будет знакопеременной.

Решение.

Знакопеременная группа Аn имеет порядок [pic], значит знакопеременная группа А3 имеет порядок [pic]. Следовательно, из представленных в условии задачи подгрупп знакопеременной может быть подгруппа G, так как ее порядок равен 3. Проверим, являются ли перестановки подгруппы G четными. По определению, перестановка называется четной, если она раскладывается в произведение четного числа транспозиции.

(123)=(12)*(13), то есть (123) – четная перестановка

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: деловое общение реферат, решебник 9 класс.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата