Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

3. Частный случай.

Иногда поставленная задача оказывается настолько трудной, что не поддается решению, тогда используется следующий способ: решается часть задачи или рассматривается несколько задач, аналогичных данной, что и называется использованием “частного случая”. Бывает, что преподавателю не хватает какой-то простой задачи для  иллюстрации новой теоремы, тогда тоже может помочь “частный случай”.

В истории есть примеры того, что обобщенные теоремы не находят применения, а их “частные случаи” получают широкое распространение и являются одними из важнейших среди прочих теорем математики (примером подобной ситуации может послужить теорема Паппа и ее “частный случай” теорема Пифагора).

Алгоритм конструирования:

Решение сложной конструкции

Детализирование задачи.

Изменение условий.

Объяснение возможного изменения решения.

Соединение и уточнение условий.

Решение полученной задачи.

Пример 6:Задача: "Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. (Теорема Птолемея)" (ж. " Квант"№4 1991г.")3.1. Дано: окр., АВСК - вписанный четырехугольник, АС и ВК - диагонали.

Доказать: ВК × АС= СК ×АВ + ВС ×АК.

Доказательство:

Возьмем на диагонали АС точку М такую, что ÐАВМ= ÐСВК. Поскольку

угол ÐСКВ=ÐМАВ (как вписанные),  ВСК подобен   АВМ, поэтому  ВК: АВ=СК: АМ Û АВ×СК=АМ×ВК(1). Из того, что ÐАВК=ÐМВС (по построению), а  Ð ВСМ= ÐАКВ   (вписанные), следует, что   АВК подобен    МВС,ÞАК: СМ= ВК: ВСÛ АК×ВС=ВК× СМ (2).

Сложив почленно (1) и (2), получаем ВК ×АС=СК ×АВ + ВС ×АК, что и требовалось доказать.

3.2. Итак, теорему можно поделить на группу терминов: "произведение диагоналей", "вписанный четырехугольник" и "сумма произведений противоположных сторон".

3.3. Для того чтобы получить частный случай теоремы Птолемея, выбран термин "вписанный четырехугольник", который изменяется на "вписанный квадрат".

3.4. В результате изменения условий, изменяется и решение: точка М переносится в центр окружности, который является и точкой пересечения диагоналей квадрата.

3.5. Полученная задача выглядит так: “Докажите, что квадрат стороны вписанного квадрата равен двум площадям этого квадрата”. (Составлена самостоятельно).

3.6.  Решение:

Дано: АВСК - вписанный квадрат, АС и ВК - диагонали, О - центр окружности.

Доказать: ВК× ВК=2 SАВСК.

Доказательство:

Т.к. ÐАВО=ÐСВК (диагональ квадрата является биссектрисой),

ÐСКВ=ÐОАВ (вписанные),    ВСК подобен      АВК,Þ АВ×АВ= АО×ВК (1).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать контрольные работы, сочинения по русскому языку.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата