Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат этикет, изложение с элементами сочинения
| Добавил(а) на сайт: Битнер.

Длина дуги иеё производная.

В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгое определение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал.

Пусть дуга кривой M0M (рис. 1) есть график функции y=f(x), определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.
Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, … , Mi-1, Mi…, Mn-1, M.
Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-
1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через Pn.
Длиной дуги M0M называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной Mi-1 Mi , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M .
Найдём выражение дифференциала дуги.
Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M0(x0, y0)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину дуги M0M
(рис.3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x. Найдём производную s по x.
Дадим x приращение (x. Тогда дуга s получит приращение (s = дл. (MM1.
Пусть [pic] - хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти [pic], поступим следующим образом:

Из (MM1Q находим [pic]= ((x)2 +((y)2. Умножим и разделим левую часть на(s2:

[pic]
Разделим все члены равенства на (x2:

[pic]
Найдём предел левой и правой частей при (x(0. Учитывая, что [pic] и [pic], получим [pic]
Для дифференциала дуги получим следующее выражение:

[pic] или [pic]

Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически:

[pic] [pic]

и выражение принимает вид: [pic].

Кривизна

Первая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.
Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через ( угол, образованный этими касательными, или – точнее - угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4).

[pic]рис. 4 [pic]рис. 5
Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.
Определение 4. Средней кривизной Кср дуги (АВ называется отношение соответствующего угла смежности ( к длине дуги:

[pic]
Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6) средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1 , хотя длины этих дуг равны между собой.
Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введём понятие кривизны в данной точке.
Определение5. Кривизной Ка линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:

[pic]

Вычисление кривизны

Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M(x, y). При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеет непрерывную вторую производную.
Проведём касательные к кривой в точках M и M1 с абсциссами x и x+(x и обозначим через ( и (+(( углы наклона этих касательных (рис.7).
Длину дуги (M0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначим через s; тогда (s = (M0M1 - (M0M, а((s( = (MM1. Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге (MM1 равен абсолютной величине разности углов ( и (+((, то есть равен ((((.
Согласно определению средней кривизны кривой на участке (MM1 имеем [pic].

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги (MM1 стремится к нулю: [pic]
Так как величины ( и s зависят от x, то, следовательно, ( можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда

[pic] [pic]

Для вычисления [pic] воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически: [pic].

Чтобы выразить производную [pic] через функцию y=f(x), заметим, что
[pic] и, следовательно [pic].

Дифференцируя по x последнее равенство, получаем [pic].
И так как [pic], то

[pic], и окончательно, так как [pic], получаем

[pic].
Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.

Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.