Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат этикет, изложение с элементами сочинения
| Добавил(а) на сайт: Битнер.

Пусть кривая задана параметрически: x=((t), y=((t). Тогда

[pic] [pic]

Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем

[pic].

Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнением вида ( = f((). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = ( cos (, y = ( sin ( .

Если в эти формулы подставить вместо ( его выражение через (, то есть f((), то получим x = f(() cos (, y = f(() sin (
Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является (.

Тогда[pic], [pic]

[pic] , [pic]

Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах:

[pic]

Радиус и круг кривизны

Определение 7. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/K, или

[pic]
Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.
Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С
(проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке
М.
Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.
Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты ( и ( центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

[pic]
Так как точка C((, () лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению [pic].
Далее, точка C((, () находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:

[pic]
Решив совместно уравнения * определим (, (:

[pic] [pic]

[pic] [pic]

и так как [pic], то

[pic] [pic]

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0 и y!!0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, (>y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае (y!!(= y!!, формулы координат центра запишем в следующем виде:

[pic] [pic] (1)
Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y!!