Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

Пусть дуга кривой M0M  (рис. 1) есть график функции  y=f(x), определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.

 Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, … , Mi-1, Mi…, Mn-1,  M.

Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через Pn.

Длиной дуги M0M  называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной Mi-1 Mi , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M .

Найдём выражение дифференциала дуги.

Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M0(x0, y0)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину дуги M0M (рис.3).  При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x. Найдём производную s по x.

Дадим x приращение Dx. Тогда дуга  s  получит приращение Ds = дл. ÈMM1. Пусть  - хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти  ,  поступим  следующим  образом:                                                         

 Из  DMM1Q  находим = (Dx)2 +(Dy)2.       Умножим и разделим левую часть наDs2:

Разделим все члены равенства на Dx2:

Найдём предел левой и правой частей при Dx®0. Учитывая, что  и ,  получим    

Для дифференциала дуги получим следующее выражение:

  или  

Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически:

            

и выражение принимает вид: .

Кривизна

Первая производная функции  даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.

Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через  a  угол, образованный этими касательными, или – точнее - угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4).

рис. 4                      рис. 5

Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.

Определение 4.  Средней кривизной Кср дуги ÈАВ называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги:

Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6)   средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1 , хотя длины этих дуг равны между собой.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: мини сочинение, детские рефераты.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата