Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

7. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию [pic].

8. Написать программу на одном из языков программирования и сравнить результаты счета с полученными выше.

2. Расчетные формулы.

2.1 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.
При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений:

|x |[pic] |[pic] |( |[pic] |( |[pic] |
|y |[pic] |[pic] |( |[pic] |( |[pic] |

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых [pic] (независимая величина) задается экспериментатором, а [pic] получается в результате опыта. Поэтому эти значения [pic] будем называть эмпирическими или опытными значениями.

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу

[pic] (2.1.1)
(где [pic] - параметры), значения которой при [pic] возможно мало отличались бы от опытных значений [pic].

Обычно указывают класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т.п.) из которого выбирается функция [pic], и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (2.1.1) подставить исходные [pic], то получим теоретические значения [pic], где [pic].
Разности [pic] называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек [pic] до графика эмпирической функции.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами [pic] считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

[pic] (2.1.2) будет минимальной.

Поясним геометрический смысл метода наименьших квадралтов.
Каждая пара чисел [pic] из исходной таблицы определяет точку [pic] на плоскости [pic]. Используя формулу (2.1.1) при различных значениях коэффициентов [pic] можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (2.1.1). Задача состоит в определении коэффициентов [pic] таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек [pic] до графика функции (2.1.1) была наименьшей.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.
Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y , то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Определение наилучших коэффициентов [pic] входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами.

Для того, чтобы найти набор коэффициентов [pic], которые доставляют минимум функции S , определяемой формулой (2.1.2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов [pic]:

[pic] (2.1.3)
Таким образом, нахождение коэффициентов [pic] сводится к решению системы
(2.1.3).

Эта система упрощается, если эмпирическая формула (2.1.1) линейна относительно параметров [pic], тогда система (2.1.3) - будет линейной.

Конкретный вид системы (2.1.3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (2.1.1). В случае линейной зависимости [pic] система (2.1.3) примет вид:

[pic] (2.1.4)

Эта линейная система может быть решена любым известным методом
(методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).

В случае квадратичной зависимости [pic] система (2.1.3) примет вид:

[pic] (2.1.5)

2.2 Линеаризация экспоненциальной зависимости.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинения по литературе, ответы 4 класс.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата