Кватернионы

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: курсовая работа проблема, рассказы чехова
| Добавил(а) на сайт: Федул.

[pic]

Если [pic], то разность кватернионов – это нулевой кватернион.

Деление кватернионов

Перейдем теперь к операции деления кватернионов, обратной к операции умножения. Вообще, что мы понимаем под частным от деления числа a на число b, не равное нулю? Это такое число c, что

bc = a. (10)

Так определяется частное от деления для действительных и комплексных чисел.
К сожалению, для кватерниона применить непосредственно это определение мы не можем. Для того чтобы формула (10) “корректно” определяла частное, нужно, чтобы произведение не зависело от порядка сомножителей. В противном случае наряду с частным [pic] определенным формулой (10), существует вполне равноправное “левое” частное” с’, определяемое формулой

c’b = a,

которое может отличаться от “правого частного” c из (10). Вот здесь, кроме необходимости выйти за пределы трехмерного пространства, Гамильтону пришлось принести еще одну жертву.

Оказывается, определенные им новые числа – кватернионы – потеряли еще одно привычное качество: произведение кватернионов зависит от порядка сомножителей. Действительно, уже в формулах (6) при изменении порядка сомножителей произведение меняет знак.

Таким образом, можно говорить лишь о “делении справа” и “делении слева”. Как реально найти, скажем, “левое частное” от деления кватерниона
[pic] на кватернион [pic]?

Обозначим искомое частное через q = x + yi + uj + vk. Тогда, используя правило умножения для кватернионов и определение левого частного, получим следующее равенство кватернионов:

[pic],

или

[pic]

Полученное равенство равносильно системе четырех линейных уравнений с переменными x, y, u, v:

[pic]

Аналогичным образом находится “правое частное” от деления [pic] на
[pic].

Рассмотрим частный случай, когда делимое [pic] равно единице. В этом случае частное от деления [pic]=1 на кватернион [pic] (и “слева” и
“справа”) равно одному и тому же кватерниону

[pic]

Поэтому кватернион p обозначается через [pic]. Тогда “правое частное” от деления кватерниона [pic] на [pic] выражается формулой

[pic],

а “левое частное” от деления кватерниона [pic] на [pic] – формулой

[pic]

Практически частное от деления двух кватернионов ищется другим путем.
Для этого нам потребуются

Скалярные и векторные кватернионы