Кватернионы

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: курсовая работа проблема, рассказы чехова
| Добавил(а) на сайт: Федул.

Но несмотря на неудачи, Гамильтон пытался решить поставленную перед собой задачу. Но эта задача не могла быть решена (объяснение следует ниже).
Но труд не пропал даром. В 1843 г. Гамильтон вдруг решил, что для определения умножения нужно рассматривать не триплеты (тройки чисел), а четверки, или кватернионы. Вот история их создания.

Случай на Брогемском мосту

[pic]

В одном из писем к своему сыну Гамильтон писал: “Это был 16-й день октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета
Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли и труда, моего – если доведется, или труда других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k,

[pic],

содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась.
Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в Понедельник 13-го следующего месяца – ноября”.

Определение кватернионов

Кватернионы – это четверки действительных чисел (x; y; u; v), которые удобно записывать в виде q = x + yi + uj + vk, где i, j, k – новые числа, являющиеся аналогом мнимой единицы в комплексных числах. Требуется, чтобы числа i, j, k удовлетворяли следующим соотношениям:

[pic] (5)
[pic] [pic] (6)

которые удобно записать в виде “таблицы умножения”.

x i j k

i -1 k j

j -k -1 i

k -j -i -1

По определению операции сложения и умножения кватернионов производятся по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов с учетом правил (5) – (6).

Согласно этому определению, если [pic] и [pic] – два кватерниона, то

[pic][pic] (7)

Это, разумеется, привычное нам “покоординатное” сложение. Далее, произведение кватернионов [pic] и [pic] вычисляется так:
[pic]

Длинная, но совершенно автоматическая проверка показывает, что умножение кватернионов обладает сочетательным свойством:

[pic]

Естественно считать, что действительные и комплексные числа являются частным случаем кватернионов. Так, действительное число x – это кватернион вида

[pic]

Комплексное число z = x + yi представляется как кватернион

[pic]

У операции сложения кватернионов, очевидно, имеется обратная операция
–вычитание. Именно, разность двух кватернионов [pic] и [pic] определяется формулой: