[pic]

Как сделать из точек числа?

Если речь идет о точках на прямой – это просто. Выбрав начало отсчета и масштаб с направлением, можно получить из прямой числовую ось и тем самым превратить каждую точку в действительное число – ее координату.

С точками на плоскости сложнее. Выбираем две оси и начало отсчета. Для каждой точки плоскости сопоставляем ее координаты (x; y). Эта пара будет называться дуплетом. Чтобы сделать дуплет числом, нужно научиться
“складывать” и “умножать” их в соответствии со свойствами сложения и умножения.

Дуплеты складываются как векторы – покоординатно:

(x; y) + (x’; y’) = (x + x’; y + y’). (1)

Для умножения существует иная формула:

(x; y) [pic] (x’; y’) = (xx’ - yy’; xy’ + x’y). (2)

Умножение и сложение (1), (2) дуплетов подчиняются привычным свойствам сложения и умножения. Следовательно, множество дуплетов с операциями (1),
(2) можно считать полноценным числовым множеством.

На самом деле дуплеты – это комплексные числа. Их записывают так: x + yi, где i –мнимая единица (дуплет (0; 1)). Ее квадрат равен [pic]. Это позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Но встает проблема превращения точек пространства в числа. Здесь снова введем систему координат и запишем точки в виде набора уже трех координат
(x; y; z). Эти так называемые триплеты тоже складываются покоординатно:

(x; y; z) + (x’; y’; z’) = (x + x’; y + y’; z + z’). (3)

Триплеты можно будет считать числами, если научиться их умножать, обладая, вместе со свойствами сложения, обычными способами умножения этих операций.

В 1833 г. умножением триплетов занимался ирландский математик У. Р.
Гамильтон (1805 – 1865). О нем мы расскажем особо.

Уильям Роуан Гамильтон

Гамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет владел девятью языками, в 1824 г. опубликовал в трудах Королевской
Ирландской Академии работу, посвященную геометрической оптике, в 1828 г. получил звание королевского астронома Ирландии.

К 1833 г. Гамильтон занимал пост директора обсерватории в Денсинке и был известен работами по оптике и аналитической механики. Он предсказал эффект двойной конической рефракции в двуосных кристаллах.

В течение долгих десяти лет Гамильтон безуспешно пытался придумать правило умножения триплетов.

Векторное произведение

Задача поначалу казалась несложной. Складывать векторы следовало по формуле (3). Оставалось найти формулу умножения, подобную формуле (2). Но
Гамильтон безуспешно пытался подбирать формулы для умножения триплетов.

В то время было известно правило векторного произведения: векторным произведением [pic] ненулевых векторов [pic] называется вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через векторы [pic] имеющий направление, определяемое правилом “правой руки”, и длину ?[pic]?[pic]
?[pic]?[pic]. Если для данных векторов заданы координаты в прямоугольной системе координат:

[pic]

[pic]

то [pic] (4)

Но операция векторного произведения не годилась Гамильтону, поскольку она не имеет обратной. Например, если [pic] то угол ([pic]) между векторами равен нулю. Значит, длина векторного произведения [pic] равна нулю, т.е. и сам вектор [pic] нулевой.