Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: тарас бульба сочинение, реферат роль
| Добавил(а) на сайт: Мастридия.

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

? = F(t)z (- ( < t < + (), (1) где F(t) — непрерывная периодическая матрица с периодом (:

F(t + () = F(t).
Пусть z1(t), …, zn(t) — фундаментальная система решений для системы уравнений (1), определяемая начальными условиями zj(0) = ej (j = 1, …,n), (2) где ej = {(j1, …, (jn} (см. примечание 1). Поскольку матрица F(t) периодическая, функции z1(t + (), …, zn(t + () также образуют фундаментальную систему решений. Таким образом каждая из функций zj(t + () будет линейной комбинацией zk(t) (k = 1, …, n) с постоянными коэффициентами
(см. примечание 2), поэтому

где сjk (j, k = 1, …, n) — постоянные. Последние соотношения можно записать в виде

Z(t + () = Z(t)C, (3) где Z(t) — фундаментальная матрица решений zj(t) (j = 1, …, n), а С = (сjk)
— постоянная матрица.
В силу (1) и (2) матрица Z(t) удовлетворяет условиям

? = F(t)Z, Z(0) = E.
Полагая в равенстве (3) t = 0, получим Z(() = C.

Таким образом, Z(t + () = Z(t)Z((). (4)
Матрица Z(() называется матрицей монодромии системы уравнений (1).
Очевидно (Z(()( ( 0. Собственные значения матрицы Z(() называются мультипликаторами системы уравнений (1).
Отметим, что если матрица F(t) действительная, то матрица монодромии также действительная, однако мультипликаторы будут, вообще говоря, комплексными числами.
Теорема 1. Для того чтобы комплексное число ( было мультипликатором системы уравнений (1), необходимо и достаточно, чтобы существовало такое нетривиальное решение ((t) системы (1), для которого

((t + () = (((t). (5)
Доказательство. Пусть ( — мультипликатор системы уравнений (1), тогда существует такой вектор z0 ( 0, что

Z(()z0 = (z0.
Рассмотрим следующее нетривиальное решение системы уравнений (1):

((t) = Z(t)z0.
В силу (4)

((t + () = Z(t + ()z0 = Z(t)Z(()z0 = Z(t)(z0 = (Z(t)z0 = (((t).
Необходимость условия сформулированного в теореме, доказана. Докажем достаточность. Из соотношения (5) при t = 0 получим

((() = (((0). (6)
В силу теоремы единственности

((t) = Z(t) ((0), (7) причем ((0) ( 0, так как в противном случае решение ((t) было бы тривиальным. Из равенства (7) в силу (6) следует то, что

Z(()((0) = ((() = (((0).
Таким образом, ((0) — собственный вектор матрицы Z(?), а ? — мультипликатор системы уравнений (1). Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает

Следствие. Линейная однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное решение с периодом ? в том и только в том случае, когда один из ее мультипликаторов равен единице.

Замечания. 1. Имеет место

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица Z(t) допускает следующее представление:

Z(t) = Ф(t)eAt [1], где Ф(t) — периодическая матрица с периодом ?, а А — постоянная матрица.

2. Легко видеть, что матрица Ф(t) удовлетворяет следующему условию: откуда непосредственно следует, что замена переменных z = Ф(t)y переводит систему уравнений (1) в систему уравнений с постоянными коэффициентами (см. примечание 3)

Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим система дифференциальных уравнений

? = F(t)z + g(t) (- ( < t < + (), (8) где F(t) — непрерывная периодическая матрица с периодом ?, g(t) — непрерывная периодическая вектор-функция с периодом ?. Нас будут интересовать периодические решения этой системы уравнений с периодом ?.

Теорема 2. Пусть однородная система уравнений (1) (соответствующая неоднородной системе (8)) не имеет нетривиальных периодических решений с периодом ? (то есть все ее мультипликаторы отличны от единицы). Тогда система уравнений (8) имеет единственное периодическое решение с периодом
?.

Доказательство. Любое решение системы уравнений (8) может быть представлено в виде