Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: тарас бульба сочинение, реферат роль
| Добавил(а) на сайт: Мастридия.

(9)

где Z(t) — фундаментальная матрица системы уравнений (1). Выберем фундаментальную матрицу Z(t) так, чтобы было

Z(0) = E.
В этом случае формула (9) примет вид (при t0 = 0)

(10)

Потребуем, чтобы решение z(t) имело период ?: z(t + ?) = z(t). (11)
В частности, при t = 0 z(?) = z(0). (12)
Оказывается, что если для некоторого решения z(t) выполнено условие (12), то оно имеет период ?. В самом деле, z(t + ?) и z(t) — два решения системы уравнений (8), удовлетворяющие в силу (12) одному и тому же начальному условию при t = 0. В силу теоремы единственности эти решения тождественно совпадают, то есть имеет место соотношение (11). Таким образом, условие того, что решение z(t) имеет период ?, можно записать в виде (12). В силу формулы (10) соотношение (12) примет вид

(13)

По условию теоремы, все мультипликаторы системы (1) отличны от единицы.
Поэтому (Z(() - E( ( 0 (характеристическое уравнение (Z(() - ?E( = 0 не имеет корня ? = 1) и система уравнений (13) однозначно разрешима отностильно z0. Теорема доказана.

Замечание. В случае, когда однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ?, линейная неоднородная система уравнений (8) может или вообще не иметь периодических решений с периодом ? (если система уравнений (13) несовместна), или иметь несколько линейно независимых периодических решений с периодом ? (если система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).

Примечания:

1. (j1 = {1;0; …;0}, …, (jn = {0;0; …;1}.
2. Любое решение x(t) однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальной системы решений x1(t), …,xn(t).
3. Все выводы получаются следующим образом:

из ? = F(t)Z и Z(t) = Ф(t)eAt следует то, что, подставляя второе выражение в первое, получим

Примеры:

Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладе теорем и следствий к ним:

Пример 1: Показать, что линейное уравнение второго порядка

где f(t) — непрерывная периодическая функция с периодом ?, имеет единственное периодическое решение с периодом ?, если

Решение.

Сведем дифференциальное уравнение к системе и применем теорему 2:

1. Имеем

2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составить матрицу монодромии однородной системы и все собственные значения этой матрицы должны быть отличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу для однородной системы, соответствующей неоднородной системе (*):

3. Находим мультипликаторы однородной системы:

Итак, если

все мультипликаторы системы уравнений (**) отличны от единицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, что система

(*),а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственное периодическое решение с периодом ?.

Задача решена.
Пример 2: Показать, что линейное уравнение второго порядка

при a?2?k/? (k(R) имеет единственное периодическое решение с периодом ?
(см. пример 1); при a=(2?/? не имеет периодических решений с периодом ?, а при a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1 и 0) все его решения — периодические с периодом ?.