Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: тарас бульба сочинение, реферат роль
| Добавил(а) на сайт: Мастридия.

Решение.

Очевидно, что здесь необходимо воспользоваться теоремой 2 и замечанием к ней. Решение данного примера необходимо разбить на 3 части (для каждого из условий). Поскольку при нахождении матрицы монодромии в предыдущем примере мы свободный член исходного дифференциального уравнения не использовали и учитывая одинаковые правые части дифференциальных уравнений обоих примеров, можно будет сразу воспользоваться некоторыми выкладками примера 1.

Итак, матрица монодромии имеет следующий вид:

1.[a?2?k/? (k(R)] Как мы установили в примере 1, любое линейное уравнение вида при указанных ограничениях действительно имеет единственное периодическое решение с периодом ?.

2-3.[a=(2?/?; a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1 и 0)]
При данных значениях а однородная система (**) из 1-го примера имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ?, тогда в соответствии с замечанием к теореме 2 линейная неоднородная система уравнений, соответствующая заданному дифференциальному уравнению , может или вообще не иметь периодических решений с периодом ? (для случая 2 необходимо установить несовместность системы уравнений (13)), или иметь несколько периодических решений с периодом ? (для случая 3 необходимо установить, что система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).
Сначала мы будем случаи 2 и 3 рассматривать совместно:

Система уравнений (13):

Неоднородная система, соответствующая заданному дифференциальному уравнению:

Далее решать систему будем отдельно для каждого заданного значения а:

если в системе (***) справа будет получена нулевая матрица, то она имеет множество решений, если нет – не имеет их вообще.
2. Подставляем в систему (***)a=(2?/?:

3. Подставляем в систему (***)a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1 и 0):

Таким образом,система (13') имеет бесконечное множество решений для данных значений а ( исходное дифференциальное уравнение имеет несколько линейно независимых периодических решений с периодом ?.

Замечание. Отдельно стоит рассмотреть случай, когда а=0 (этому случаю соответствует k=0, если a=2?k/?).
Если а=0, то матрицы, обратной фундаментальной матрице системы (**), не существует, отсюда сразу следует несовместность системы (13'), а значит исходное линейное уравнение второго порядка не имеет периодических решений.

Задача решена.

--------------------
[1] [pic]

--------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]