Московский Государственный Технический Университет имени Н.Э. Баумана.

Курсовая работа

По предмету

“Дифференциальные уравнения.”

Тема: Математическая модель всплытия подводной лодки

Выполнила:

студентка группы

ФН 2-31, Иванова А.

Научный руководитель:

профессор В.И. Ванько.

Москва 2001 г.

Введение.

Под словами математическая модель всплытия подводной лодки подразумевается описание физического процесса, происходящего при её всплытии с некоторой глубины.Естественно, математическая модель существенно отличается от реально происходящего процесса, так как при построении модели берется приближение, при котором пренебрегают некоторыми силами и факторами среды.

В данном случае, вместо лодки, идущей на какой-то глубине, рассматривается материальная точка с переменной массой, первоначально движущаяся горизонтально. Мы будем пренебрегать гидродинамикой этого процесса рассматривая только три основных силы действующих на эту точку.

Рассматривая, таким образом, действия сил на объект, используя основные законы механики и соотношения между силами мы можем составить дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений, решая которую, можно получить её частное или общее решение (в зависимости от вида системы).

Получив решение, мы можем ответить и на другие вопросы, касающиеся всплытия лодки, такие, как нахождение значений параметров при которых время всплытия лодки будет минимальным, и ряд других.

На идее моделирования, по существу, базируется любой метод исследования – как теоретический(при котором используются абстрактные модели), так и экспериментальный (использующий предметные модели).

Построение математической модели процесса позволяет понять его суть и его физический смысл.

Рассмотрим подводную лодку как материальную точку, которая движется по горизонтали на некоторой глубине, с некоторой постоянной скоростью. Лодка удифферентована, то есть силы, которые действуют на лодку по вертикали, как показано на рис.1, (сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда) равны по модулю.
По горизонтали, на лодку действует сила сопротивления, модуль которой примем в виде:

[pic]
Где степень [pic] и коффициент пропорциональности [pic] это некоторые числа, характерные для данной среды, и зависящие от факторов среды, таких как: плотность

Рис. 1 воды, её температура, и величины скорости.
Сила Архимеда, действущая на лодку, зависит от размеров лодки, а именно от её объема, и плотности воды.

[pic]

В этой формуле [pic] – это плотность жидкости, [pic]–объем тела, погруженного в жидкость, [pic] = 9.81 м / c2 – ускорение свободного падения.

Пусть в некоторый момент времени выключены двигатели и сбрасывается балласт. Двигаясь по инерции, а также под действием силы Архимеда, она начнет всплывать по некоторой траектории (рис.2).
Проведем радиус вектор [pic]из начала координат:

[pic]
Вектор скорости также можно разложить на составляющие по осям x и y: