Математическая модель всплытия подводной лодки

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: бесплатные рефераты, налоги в россии
| Добавил(а) на сайт: Феликс.

Рис. 2
[pic]
Тогда силу сопротивления мы можем записать так:

, так как вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения, а сила сопротивления имеет противоположное направление.

По второму закону Ньютона:

[pic], где вектор [pic] - это вектор силы тяжести, действующей на лодку. [pic]- некоторая функция зависящая от времени.

Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси.
В проекции на ось [pic]: [pic]
В проекции на ось [pic]: [pic]
В результате получим систему дифференциальных уравнений:

[pic] , где масса [pic]- функция зависящая от времени. Решая эту систему для произвольного значения [pic], и заданных начальных условий, мы получим уравнение траектории движения подводной лодки.
Пусть масса лодки изменяется по линейному закону [pic], где [pic] - масса корпуса, [pic] - это скорость вытеснения воды из цистерн, которую будем считать постоянной, а [pic] - некоторый момент времени, в который вся вода из цистерн вытеснена. Как показано на рис.3, в некоторый момент времени произведение [pic] будет равняться 0, и мы

Рис. 3 получим [pic], то – есть, вся вода из цистерн будет вытеснена.

Решим эту систему для частного случая.
Пусть [pic] = 1. В начальный момент времени лодка находится в начале координат, а вектор её скорости направлен по горизонтали и равен [pic].

Тогда начальные условия будут такими:

[pic]

[pic] .
В рассматриваемом частном случае, система уравнений принимает следующий вид:

[pic] .

Первое уравнение этой системы зависит только от [pic], второе только от
[pic], поэтому их можно разделить. Решим сначала первое уравнение системы.

[pic]

Так как в это уравнение не входит [pic], можно сделать замену [pic]. Решая таким образом полученное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, получим:

[pic]

[pic]

[pic].

[pic].

Решим второе уравнение системы.

[pic]

Делая аналогичную замену, получим линейное неоднородное уравнение, решая которое, получим:

[pic]

[pic]

[pic]