Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных диапазонов частот использовались временные окна различной длительности.
Оконные функции получались в результате растяжения-сжатия и смещения по времени гаусиана. Morlet назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets)
- компактными волнами. В дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer),
Добеши (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane
Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние.

Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева.

1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ

Определение 1. Многомасштабный анализ (multiresolutional analysis) – разложение гильбертова пространства L2(Rd), d(1, в последовательность замкнутых подпространств

[pic],

(1.1) обладающих следующими свойствами:
1. [pic], и [pic] полно в L2(Rd),

2. Для любого f( L2(Rd), для любого j( Z, f(x)(Vj тогда и только тогда, когда f(2x) (Vj-1,
3. Для любого f( L2(Rd), для любого k( Zd, f(x)(V0 тогда и только тогда, когда f(x-k)(V0,
4. Существует масштабирующая (scaling) функция ((V0, что {((x-k)}k(Zd образует базис Ритца в V0.
Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде:
4’. Существует масштабирующая функция ((V0, что {((x-k)}k(Zd образует ортонормальный базис в V0.
Определим подпространство Wj как ортогональное дополнение к Vj в Vj-1,

[pic],

(1.2) и представим пространство L2(Rd) в виде прямой суммы

[pic]

(1.3)

Выбирая масштаб n, можем заменить последовательность (1.1) следующей последовательностью:

[pic]

(1.4) и получить

[pic]

(1.5)

Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно положить j=0 и рассматривать

[pic], V0( L2(Rd)

(1.6) вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V0 конечномерно.

Функция ( - так называемая масштабирующая (скейлинг-) функция. С ее помощью можно определить функцию ( - вейвлет - такую, что набор {((x- k)}k(Z образует ортонормальный базис в W0. Тогда

[pic], m=0..M-1.

(1.7)
Из свойства 4’ непосредственно следует, что, во-первых, функция ( может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства
V-1 . Так как функции {(j,k(x)=2-j/2((2-jx-k)}k(Z образуют ортонормальный базис в Vj, то имеем

[pic].

(1.8)
Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно переписать (1.8) в виде

[pic],

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение на тему зимой, реферат катастрофы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата