Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Равенство (1.17) определяет пару квадратурных зеркальных фильтров
(quadrature mirror filters, QMF) H и G, где [pic] и [pic]. Коэффициенты QMF
H и G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений. Число
L коэффициентов фильтра в (1.11) и (1.22) связано с числом исчезающих моментов М, и всегда четно.

Выбранный фильтр Н полностью определяет функции ( и ( и, таким образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных алгоритмах значения функций ( и ( почти никогда не вычисляются. Благодаря рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с квадратурными зеркальными фильтрами H и G, даже если в них используются величины, связаные с ( и (.

2. БЫСТРОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

После того, как вычислены коэффициенты hk и gk, т.е. выбран определенный вейвлет, можно проводить вейвлет-преобразование сигнала f(x), поскольку задан ортонормальный базис ((j,k, ( j,k). Любая функция f(x)(L2(R) полностью характеризуется ее вейвлет- коэффициентами разложения по этому базису и потому может быть представлена формулой

[pic].

(2.1)
Зададим все пределы суммирования в формуле (2.1). Функцию f(x) можно рассматривать на любом n-м уровне разрешения jn. Тогда разделение между ее усредненными значениями на этом уровне и флуктуациями вокруг них выглядят как

[pic].

(2.4)
На бесконечном интервале первая сумма может быть опущена, и в результате получается «чистое» вейвлет-разложение.

Коэффициенты sj,k и dj,k содердат информацию о составе сигнала на разных масштабах и вычисляются по формулам:

[pic],

(2.2)

[pic].

(2.3)

Однако при этом компьютерные расчеты занимают довольно длительное время, т.к. при вычислении приходится проводить O(N2) операций, где N – число имеющихся значений функции. Опишем более быстрый алгоритм.

В реальных ситуациях с оцифрованным сигналом мы всегда имеем дело с конечным набором цифр (точек). Поэтому всегда существует наилучший уровень разрешения, когда каждый интервал содержит по одному числу. Соответственно и суммирование по k будет идти в конечных пределах. Удобно изменить шкалу разрешения (или шкалу f), приписав значение j=0 этому наилучшему уровню разрешения. В этом случае легко вычислить вейвлет-коэффициенты для более усредненных уровней j(1. Многомасштабный анализ приводит естественным путем к иерархической и быстрой схеме вычисления вейвлет-коэффициентов заданной функции.

В общем случае итерационные формулы быстрого вейвлет-преобразования имеют вид:

[pic],

(2.4)

[pic]

(2.5) с

[pic].

(2.6)
Эти уравнения обеспечивают быстрые (или пирамидальные) алгоритмы вычисления вейвлет-коэффициентов, поскольку требуют только O(N) операций для своего завершения. Начав с s0,k, мы вычислим все другие вейвлет-коэффициенты, если параметры вейвлета hm и gm известны. Явный вид вейвлета при этом не используется. Простая форма полученных итерационных уравнений служит единственным оправданием введения множителя [pic] в функциональное уравнение (1.8). В принципе, коэффициенты hm и gm можно было бы перенормировать. Однако, уравнения (2.4), (2.5) используются на практике значительно чаще других, и поэтому эту нормировку не изменяют. Любые дополнительные сомножители в них могут привести лишь к усложнению численных расчетов.

Остающиеся проблемы связаны с начальными данными. Если известен явный вид функции f(x), то коэффициенты s0,k можно вычислить, используя формулу
(2.6). Но ситуация отличается от этой, если доступны только дискретные значения f(x). Чтобы достичь высокой точности, хорошо бы задать очень малые интервалы (плотную решетку), но это зачастую недоступно из-за конечности интервалов сбора информации. В таком случае простейшее принимаемое решение состоит в непосредственном использовании величин f(k) из доступного набора данных в виде коэффициентов s0,k и применении быстрого вейвлет- преобразования с использованием формул (2.4), (2.5). Это безопасная операция, т.к. пирамидальный алгоритм обеспечивает полную реконструкцию сигнала, а коэффициенты s0,k по сути представляют собой локальные средние значения сигнала, взвешенные со скейлинг-функцией.

В общем случае можно выбрать

[pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение на тему зимой, реферат катастрофы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата