Claw.ru | Рефераты по математике | Метод бесконечного спуска Метод бесконечного спуска | Категория реферата: Рефераты по математике | Теги реферата: здоровый образ жизни реферат, реферат обслуживание | Добавил(а) на сайт: Митасов. Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата

,

t 2s

— целые. Ну, а это невозможно ни при каких натуральных x, y, z, t.

А вот уравнение, у которого бесконечно много решений, но которое исследуется тем же методом.

Задача 3. Найти все решения в натуральных числах уравнения

x2 – 2y2 = 1.

Решение. Очевидно, что x1 = 3, y1 = 2 — решение данного уравнения. Докажем, что если пара (x, y) — решение, то пара (3x + 4y, 2x + 3y) — тоже решение. Это следует из тождества

(3x + 4y)2 – 2(2x + 3y)2 = x2 – 2y2.

Таким образом,

x2 = 3·3 + 4·2 = 17; y2 = 2·3 + 3·2 = 12; x3 = 99, y3 = 70, и так далее.

Мы указали бесконечную последовательность решений (x1, y1), (x2, y2), ... Докажем теперь, что других чисел, удовлетворяющих уравнению, нет.

Пусть (x, y) — некоторое решение. В таком случае (3x – 4y, 3y – 2x) — также решение, ибо

(3x – 4y)2 – 2(3y – 2x)2 = x2 – 2y2.

Из условия 9 = 9x2 – 18y2 > – 2y2 следует, что 3x > 4y; а при y > 2 из условия 4 = 4x2 – 8y2 < y2 следует, что 3y > 2x. То есть при y > 2 мы из решения (x, y) получаем решение (x(1), y(1)) в натуральных числах, причем x(1) < x, y(1) < y. Так как этот процесс не может продолжаться бесконечно (в любом непустом множестве натуральных чисел есть наименьший элемент!), то когда-нибудь мы получим решение (x(n), y(n)), где y(n) ≤ 2. Так как y(n), очевидно, не может равняться 1, то y(n) = 2. Значит, x(n) = 3. А это и означает, что числа x и y принадлежат построенной ранее последовательности.

До сих пор мы рассматривали только уравнения. Теперь решим нашим методом «текстовую» задачу.

Задача 4. Имеется 2N+1 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 2N из них можно так разложить на чашки весов, по N на каждую, что наступит равновесие. Доказать, что все гири имеют одинаковый вес.

Решение. Ясно, что все гири одновременно имеют или чётный или нечётный вес: вес любых 2N гирь чётен. Вычтем теперь из весов всех гирь вес самой лёгкой гири (или самых лёгких, если их несколько). Новая система гирь, очевидно, также удовлетворяет условию задачи, причём среди гирь есть «гири» нулевого веса. Поэтому веса всех гирь новой системы чётны. Разделив веса всех гирь пополам, мы снова получаем систему гирь, удовлетворяющую условиям задачи, среди которых есть «гири» нулевого веса. Поэтому опять же получаем, что вес всех гирь чётен, и так далее. Из «бесконечного спуска» следует, что все «гири» нулевые, а это и означает, что все исходные гири имеют одинаковый вес.

Идея бесконечного спуска позволяет решать некоторые задачи комбинаторной геометрии.

Задача 5. Можно ли куб разрезать на несколько различных кубиков?

Решение. Сделаем сначала одно очевидное замечание. Пусть квадрат P разбит на конечное число различных квадратов. Тогда самый маленький квадрат не прилегает к границе квадрата P.

Допустим теперь, что куб Q удалось разрезать на различные кубы Qj, пусть P — одна из граней Q. Кубы Qj, прилегающие к P, порождают разбиение P на попарно различные квадраты. Пусть P1 — самый маленький из этих квадратов, Q1 — соответствующий куб. P1 не прилегает к границе P, следовательно, он окружен большими квадратами. Соответствующие кубы образуют «колодец», в котором лежит кубик Q1.

Пусть P'1 — «верхняя» грань (противоположная грани P1) куба Q1. Кубы, прилегающие к P'1, порождают разбиение P'1 на различные квадраты. Вновь самый маленький из них, P2, расположен внутри P'1, следовательно, кубы, окружающие соответствующий кубик Q2, больше Q2 и снова образуют «колодец». Продолжая построение и дальше, мы получим бесконечную «башню», состоящую из все уменьшающихся кубов, а это невозможно.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курсовики скачать бесплатно, страхование реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата