Метод Симпсона

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинение бульба, российские рефераты
| Добавил(а) на сайт: Ёжин.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность.
Погрешность уменьшается при увеличении n-количества разбиений отрезка [pic]. Однако при этом возрастает погрешность округления за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.

Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины [pic]частичного отрезка.

2. Вывод формулы Симпсона

Если для каждой пары отрезков [pic] построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.
[pic]Рассмотрим подынтегральную функцию [pic] на отрезке [pic]. Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с [pic] в точках [pic]:

[pic]
Проинтегрируем [pic]:

[pic]
Формула:

[pic] и называется формулой Симпсона.

Полученное для интеграла [pic] значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью [pic], прямыми [pic], [pic] и параболой, проходящей через точки [pic]

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона.
Будем считать, что у [pic] на отрезке [pic] существуют непрерывные производные [pic]. Составим разность

[pic]

К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку [pic] непрерывна на [pic] и функция [pic] неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:

[pic]

(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку [pic] - непрерывная функция; [pic]).

Дифференцируя [pic] дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для [pic] другое выражение:

[pic], где [pic]

Из обеих оценок для [pic] следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде:

[pic],[pic] .
Если отрезок [pic] интегрирования слишком велик, то его разбивают на
[pic] равных частей (полагая [pic]), после чего к каждой паре соседних отрезков [pic], [pic],...,[pic] применяют формулу Симпсона, именно:
Запишем формулу Симпсона в общем виде:

[pic] (1)

[pic] (2)

Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:

[pic], [pic] (3)

Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если
[pic]не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать большую точность.

Например, для функции [pic] форма трапеции при [pic] для [pic] дает точный результат [pic], тогда как по формуле Симпсона получаем [pic]

3. Геометрическая иллюстрация

[pic]