Метод Симпсона

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинение бульба, российские рефераты
| Добавил(а) на сайт: Ёжин.

На отрезке [pic][pic] длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки [pic],[pic]. Площадь под параболой, заключенная между осью OX и прямыми[pic], принимают равной интегралу[pic].

Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что число разбиений отрезка интегрирования - четное.

Если же количество отрезков разбиения - нечетное, то для первых трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации подынтегральной функции.

[pic] (4)

Это формула Симпсона «трех восьмых».

Для произвольного отрезка интегрирования [pic] формула (4) может быть «продолжена»; при этом число частичных отрезков должно быть кратно трем ([pic] точек).

[pic]

[pic], m=2,3,... (5)

[pic]- целая часть
Можно получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков :

[pic](6)
[pic] - количество отрезков разбиения;
[pic] - степень используемого полинома;
[pic]- производная [pic]-го порядка в точке [pic];
[pic] - шаг разбиения.

В таблице 1 выписаны коэффициенты [pic]. Каждая строка соответствует одному набору [pic] промежутков [pic] узлами для построения многочлена k-ой степени. Чтобы воспользоваться этой схемой для большего количества наборов (например, при k=2 и n=6), нужно «продолжить» коэффициенты, а затем сложить их.

Таблица 1:
|0 |0 | |y0=1,00000 |
|1 |0.1 |0,90909 | |
|2 |0.2 | |0,83333 |
|3 |0.3 |0,76923 | |
|4 |0.4 | |0,71429 |
|5 |0.5 |0,66667 | |
|6 |0.6 | |0,62500 |
|7 |0.7 |0,58824 | |
|8 |0.8 | |0,55556 |
|9 |0,9 |0,52632 | |
|10 |1,0 | |0,50000=yn |
|( | |3,45955((1) |2,72818((2) |

По формуле Симпсона получим:

[pic]
Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность [pic] складывается из погрешностей действий [pic] и остаточного члена [pic].
Очевидно:

[pic]= [pic]; [pic] где [pic]- коэффициенты формулы Симпсона и (- максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

[pic] = [pic].
Оценим остаточный член. Так как [pic], то [pic]. Отсюда [pic]max при
[pic] и, следовательно, [pic]([pic]. Таким образом, предельная полная погрешность есть R=[pic] и, значит,[pic]([pic].

Пример3. Вычислить интеграл: [pic].

Решение:
|[pic] |[pic][pic] |[pic] |[pic] |
|2 |-0,41613 |-0,208065 |1 |
|2,05 |-0,46107 |-0,224912 | |
|2,1 |-0,59485 |-0,240405 |4 |
|2,15 |-0,54736 |-0,254586 | |
|2,2 |-0,58850 |-0,267500 |2 |
|2,25 |-0,62817 |-0,279187 | |
|2,3 |-0,66628 |-0,289687 |4 |
|2,35 |-0,70271 |-0,299026 | |
|2,4 |-0,73739 |-0,307246 |2 |
|2,45 |-0,77023 |-0,314380 | |
|2,5 |-0,80114 |-0,320465 |4 |
|2,55 |-0,83005 |-0,325510 | |
|2,6 |-0,85689 |-0,329573 |2 |
|2,65 |-0,88158 |-0,332672 | |
|2,7 |-0,90407 |-0,334841 |4 |
|2,75 |-0,92430 |-0,336109 | |
|2,8 |-0,94222 |-0,336507 |2 |
|,85 |-0,95779 |-0,336067 | |
|2,9 |-0,97096 |-0,334814 |4 |
|2,95 |-0,98170 |-0,332780 | |
|3 |-0,98999 |-0,329997 |1 |

[pic].
Поскольку [pic], [pic] при x([2,3], для производных [pic] и [pic] получаем:

-1.4 ( [pic] (1, то есть ([pic](( 1,

[pic]-( [pic]( 3, то есть ([pic](( 3.
Оценки для погрешности [pic] метода Симпсона :[pic] ( 0.0000017 для
[pic]=0.1, [pic] ( 0.0000002 для [pic]=0.05.
Чтобы погрешность округления не искажала столь точный результат для формулы Симпсона, все вычисления проводились с шестью знаками после запятой.
Окончательные результаты:

|[pic] |[pic] |[pic] |
|0,1 |-0,30335 |0,0000017 |
|0,05 |-0,30335 |0,0000002 |

--------------------
[pic]