Много битов из ничего

С. Артёмов, Ю. Гиматов, В. Фёдоров

Он думал, что уснула я

И всё во сне стерплю.

Иль думал, что я думала,

Что думал он «я сплю».

С. Маршак. Из Ковентри Патмора.

Предлагаем вниманию читателей задачу, требующую для решения весьма изощрённой логики:

Математик R сказал математикам P и S: «Я задумал два натуральных числа. Каждое из них больше единицы, а сумма их меньше ста. Математику P я сейчас сообщу – по секрету от S – произведение этих чисел, а математику S я сообщу – по секрету от P – их сумму». Он выполнил обещанное и предложил отгадать задуманные числа. Между P и S произошёл следующий диалог (высказывания P мы обозначаем буквой π с индексами, высказывания S – буквой σ):

Попробуйте теперь и вы отгадать задуманные числа.

1. Неужели их можно отгадать?

При первом взгляде на задачу она представляется неразрешимой: как можно отгадать числа, когда про них ничего не сказано?

Попробуем на примере. Пусть R задумал 7 и 42. Тогда он сообщил P число 294, S – 49. Ну, а что дальше? Р сказал, что он не может отгадать задуманные числа. Ну, конечно же не может – он знает только их произведение. Хотя, впрочем, он знает ещё, что они натуральные, больше единицы и их сумма меньше ста. А что это даёт?

Обозначим задуманные числа через k0 и l0, причём пусть для определённости k0 ≤ l0. Обозначим ещё произведение k0·l0 через p0, сумму k0 + l0 через s0.

Итак, P сообщили, что p0 = 294.

Тогда k0 может равняться 2, 3, 6, 7 и 14, а l0 будет при этом равно, соответственно, 147, 98, 49, 42 и 21. Первые два значения для k0 нам не подходят – при них s0 > 100. Всё равно остаются ещё три возможности. Значит, P действительно не может отгадать задуманные числа.

Идём дальше. S утверждает, что он заранее знал, что P не сможет отгадать k0 и l0. Как S пришёл к такому выводу? Наверняка он попробовал всеми возможными способами представить известное ему s0 в виде суммы двух допустимых слагаемых:

49 = 2 + 47 = 3 + 46 = ... = 24 + 25.