Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

представляет особый интерес, т.к. формулы нахождения корней даже кубического уравнения достаточно сложны, а если необходимо отыскать корни многочлена, степень которого равна, например, 5 – то без помощи численных методов не обойтись, тем боле, что вероятность наличия у такого многочлена натуральных (или целых, или точных корней с с «короткой» дробной частью) довольно мала, а формул для нахождения корней уравнения степени, превышающей 4, не существует.[1] Де-факто все дальнейшие операции будут сводиться лишь к уточнению корней, интервалы которых приблизительно известны заранее. Проще всего эти «приблизительные» корни находить, используя графические методы.

Для нахождения корней многочлена существует несколько численных методов, но мы остановимся на тех из них: методе итераций, методе хорд и касательных и методе половинного деления.

2.2.1. Метод хорд и касательных (комбинированный)

Данный метод основан на построении схематического графика функции, определении интервалов его пересечения с осью абсцисс и последующим
«сжатием» этого интервала при помощи строимых хорд и касательных к графику этой функции.

Надо отметить, что существуют также отдельно метод хорд (дает значение корня с недостатком) и метод касательных (с избытком). Однако преимущество комбинированного метода заключается в «двустороннем сжатии» рассматриваемого отрезка.

Рассмотрим следующий случай:

- дана функция F(x) и построен ее график;

- определена допустимая погрешность Q

- на основании графика определен отрезок [a,b], на котром график функции пересекает ось абсцисс, следовательно, на этом отрезке рис.1

- существует корень рассматриваемого многочлена. (обозначим его через

A)

Дальнейший алгоритм сводится к следующим действиям:

1. строим касательную к графику функции в точке F(b)

2. вычисляем координату х пересечения касательной с осью абсцисс по формуле (3) и обозначаем ее через b’

3. строим к графику функции хорду, проходящую через точки F(a) и

F(b).

4. Вычисляем точку пересечения хорды с осью абсцисс по формуле (2) и обозначаем ее через a'.

a’=a- ?a , где [pic] (2)

b’=b- ?b , где (3)

Таким образом мы получаем новый отрезок [a’ , b’], котроый (по определениям хорды и касательной) по-прежнему содержи решение уравнения A.

5. Теперь принимаем отрезок [a’,b’] за новый отрезок [a,b] и повторяем шаги 1-4 до тех пор, пока разность F(b)-F(a) не станет меньше первоначально заложенной погрешности Q. Отметим также, что после этого рекомендуется в качестве искомого решения взять среднее арифметическое F(a) и F(b).

Замечание к методу хорд и касательных. В рассмотренном случае производная F’(x)>0, т.е. график «выпуклый» и b>a. При работе с каждым отдельным случаем необходимо находить производные функции первого и второго порядков и, сообразуясь с ее знаком, определять a и b.

Возможны четыре случая:

y y

F(x) F(x)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: организация диплом, реферат диагностика.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата