Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата

Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида:

 f(x)=x    (1)

   (2)

Теорема 1. Корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2).

Теорема 2. Если f(x) – возрастающая функция на интервале a<f(x)<b, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) – убывающая функция на интервале a<f(x)<b, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Из последней теоремы вытекают следствие, также используемое в решениях:

Следствие 1. Если f(x) возрастает на всей своей области определения, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) убывает на всей своей области определения, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Теорема 3. Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполнются условия f(x)≥a, g(x)≤a, где а – некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе

Следствие 2. Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то данное уравнение равносильно системе

Функциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти метода основаны на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют графоаналитическим методом.

Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y=ƒ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическое уравнение вида

R(sinkx, cosnx, tgmx, ctglx) = 0          (3)

где R – рациональная функция, k,n,m,lÎZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению уравнению относительно аргументов sinx, cosx, tgx, ctgx, после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x/2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

                    2tg(x/2)               1-tg²(x/2)

               sinx=                cosx=

                    1+tg²(x/2)              1+tg²(x/2)

                                                         (4)

                   2tg(x/2)                 1-tg²(x/2)

               tgx=                 ctgx=

                   1-tg²(x/2)                2tg(x/2)

Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kÎZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kÎZ корнями исходного уравнения.

Практикум

sinx +√2-sin²x + sinx√2-sin²x = 3

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: оценка курсовой работы, реферат на тему развитие.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата