Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Степенные ряды – это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметра.

Рассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида , где xк Î X, а  – вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную –0 = , то в дальнейшем мы полагаем 0 = 0 и рассматриваем степенные ряды вида

 (1)

Конечная сумма  называется частичной суммой степенного ряда (1).

Пусть  – множество всех точек , для которых ряд (1) сходится.  называется областью сходимости ряда (1).

Сумму ряда (1) при Î  обозначим через S() (это абстрактная функция, определенная на  со значениями в X), при этом будем писать

, при Î .

Последнее равенство означает, что Sn() → S() при n→∞ для всех Î .

Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 Î . Как и в случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.

Теорема 10 (Абель). Пусть0 ≠ 0 и 0 Î , тогда круг  содержится в . Во всяком круге Sr(0), где r < , ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно .

Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге SR(0), R>0:

;

тогда равны все их коэффициенты:  (k=0, 1, 2, …)

Дифференцирование абстрактных функций

Пусть функция  числового переменного λ со значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ0.

По определению производной x’(λ0) функции x(λ) в точке λ0 называется предел

,

если этот предел существует (и конечен). Если  имеет производную в точке λ0, то она называется дифференцируемой в этой точке.

§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора

Абстрактную функцию x() будем называть аналитической при =0, если она представима в некоторой окрестности точки =0 сходящимся степенным рядом:

 (1)

с ненулевым радиусом сходимости.

Теорема 12. Если x() – аналитическая абстрактная функция при =0, то x() непрерывна в круге SR(0), где R – радиус сходимости степенного разложения (1).

Теорема 13. Если x() – аналитическая абстрактная функция при =0, то x() дифференцируема в круге SR(0) сходимости своего степенного разложения.

Пусть x() бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат факторы, презентация дипломной работы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата