Приближённые методы решения алгебраического уравнения

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинение по картине, курсовики скачать бесплатно
| Добавил(а) на сайт: Feona.

f(x) = P(x) = a0xn + a1xn- 1 + … + an-1 x + an = 0, a0 ( 0

Требование a0 ( 0 обязательно, так как при невыполнении этого условия данное уравнение будет на порядок ниже.

Всякое уравнение (1.1) называется трансцендентным, если в нём невозможно явным образом найти неизвестное, а можно лишь приближённо.

Однако в число алгебраических уравнений можно также включить те уравнения, которое после некоторых преобразований, можно привести к алгебраическому.

Те методы, которые здесь рассматриваются, применимы, как к алгебраическим уравнениям, так и к трансцендентным
.

Корнем уравнения (1.1) называется такое число (, где f(()=0.

При определении приближённых корней уравнения (1.1) необходимо решить две задачи:

1) отделение корней, т. е. определение достаточно малых промежутков, в каждом из которых заключён один и только один корень уравнения

(простой и кратный);

2) уточнение корней с заданной точностью (верным числом знаков до или после запятой);

Первую задачу можно решить, разбив данный промежуток на достаточно большое количество промежутков, где бы уравнение имело ровно один корень: на концах промежутков имело значения разных знаков. Там где данное условие не выполняется, те промежутки откинуть.

Вторая задача решается непосредственно в методах рассмотренных ниже.

При графическом отделении корней уравнения (1.1) нужно последнее преобразовать к виду:

(1(x)=(2(x)
(2.1)

и построить графики функций y1=(1(x), y2=(2(x).

Действительно, корнями уравнения (1.1)

f(x) = (1(x) - (2(x) = 0

являются абсциссы точек пересечения этих графиков (и только они).

Из всех способов, какими можно уравнение (1.1) преобразовать к виду (2.1) выбираем тот, который обеспечивает наиболее простое построение графиков y1=(1(x) и y2=(2(x). В частности можно взять (2(x) = 0 и тогда придём к построению графика функции (1.1), точки пересечения которого с прямой y2=(2(x)=0, т. е. с осью абсцисс, и есть искомые корни уравнения
(1.0).

Условия, наложенные на функцию f(x) на отрезке [a, b].

Будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] (для метода хорд можно потребовать на интервале) и имеет на этом интервале первую и вторую производные, причём обе они знакопостоянны (в частности отличны от нуля). Будем также предполагать, что функция f(x) принимает на концах отрезка значения разного знака. В силу знакопостоянства первой производной функция f(x) строго монотонна, поэтому при сделанных предположениях уравнение (1.1) имеет в точности один корень на интервале

(a, b).

2. Метод дихотомии

Этот метод ещё называется методом вилки.

Нам необходимо найти корень уравнения (1.1) на отрезке [a, b].
Рассмотрим отрезок [x0, x1]: [x0, x1]([a, b]. Пусть мы нашли такие точки х0, х1, что f (х0) f(х1) ( 0, т. е. на отрезке [х0, х1] лежит не менее одного корня уравнения. Найдём середину отрезка х2=(х0+х1)/2 и вычислим f(х2). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой выполняется условие f (х2) f(хгран.) ( 0, так как один из корней лежит на этой половине. Затем новый отрезок делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис 1.2).