Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: оружие реферат, 6 решебник виленкин
| Добавил(а) на сайт: Kas'jan.

Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка: y/=2x-y
Требуется найти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2
Начальные условия: у0=1;
Пользуясь рекурентными формулами (4), находим:
1). x1=0,2; х1/2=0,1; y(x1)=y(x0)+?0h; y(x1/2)=y(x0)+f(x0,y0)h/2; f(x0,y0)=2(0-1=-1 y(x1/2)=1-1(0,1=0,9

?0=2(0,1-0,9=-0,7 y1=1-0,1(0,2=0,86

2). y(x2)=y(x1)+?1h; x2=0,2+0,2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,2+0,1=0,3 y(x1+1/2)=y(x1)+f(x1,y(x1))h/2 f(x1,y1)=2(0,2-0,86=-0,46 y(x1+1/2)=0,86-0,46(0,1=0,814

?1=2*0,3-0,814=-0,214 y2=0,86-0,214*0,2=0,8172

3). x3=0,4+0,2=0,6; x2+1/2=x2+h/2=0,4+0,1=0,5 f(x2,y2)=2*0,4-0,8172=-0,0172 y2+1/2=0,8172-0,0172*0,1=0,81548

?2=2*0,5-0,81548=0,18452 y3=0,8172+0,18452*0,2=0,854104

4).x4=0,8; x3+1/2=x3+h/2=0,6+0,1=0,7 f(x3,y3)=2*0,6-0,854104=0,345896 y3+1/2=0,854104+0,345896*0,1=0,8886936

?3=2*0,7-0,89=0,5113064 y4=0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528

5).x5=1; x4+1/2=0,8+0,1=0,9 f(x4,y4)=2*0,8-0,956=0,64363472 y4+1/2=0,956+0,643*0,1=1,020728752;

?4=2*0,9-1,02=0,779271248 y5=0,956+0,7792*0,2=1,11221953

2. Дано уравнение второго порядка: y//=2x-y+y/

Находим решение на том же отрезке [0,1] c шагом h=0,2;

Замена: y/=z z/=2x-y+z

Начальные условия: у0=1 z0=1

1).x1=0,2; x1/2=0,1 y(z1)=y(z0)+?0h z(x1,y1)=z(x0,y0)+?0h

y(z1/2)=y(z0)+f(z0,y0)h/2 z(x1/2,y1/2)=z(x0,y0)+f(x0,y0,z0)h/2 f(z0,y0)=f10=1 f(x0,y0,z0)=f20=2*0-
1+1=0 y1/2=1+1*0,1=1,1 z1/2=1+0*0,1=1

?0=z0=1 ?0=2*0,1-
1,1+1=0,1 y1=1+0,2*1=1,2 z1=1+0,2*0,1=1,02

2).x2+0,4; x1+1/2=0,3 f11=z1=1,02 f21=2*0,2-
1,2+1,02=0,22 y1+1/2=1,2+1,02*0,1=1,1 z1+1/2=1,02+0,22*0,1=1,042

?1=z1+1/2=1,042 ?1=2*0,3-
1,302+1,042=0,34 y2=1,2+1,042*0,2=1,4084 z2=1.02+0,34*0,2=1,088

3).x3=0,6; x2+1/2=0,5 f12=z2=1,088 f22=2*0,4-
1,4084+1,088=0,4796 y2+1/2=1,4084+1,088*0,1=1,5172 z2+1/2=1,088+0,4796*0,1=1,13596

?2=z2+1/2=1,13596 ?2=2*0,5-
1,5172+1,13596=0,61876 y3=1,4084+1,136*0,2=1,635592 z3=1,088+0,61876*0,2=1,211752

4).x4=0,8; x3+1/2=0,7 f13=z3=1,211752 f23=2*0,6-
1,636+1,212=0,77616 y3+1/2=1,636+1,212*0,1=1,7567672 z3+1/2=1,212+0,776*0,1=1,289368

?3=z3+1/2=1,289368 ?3=2*0,7-
1,7568+1,289=0,9326008 y4=1,6+1,289*0,2=1,8934656 z4=1,212+0,93*0,2=1,39827216
5).x5=1; y4+1/2=0,9 f14=z4=1,39827216 f24=2*0,8-
1,893+1,398=1,10480656 y4+1/2=1,893+1,398*0,1=2,0332928 z4+1/2=1,398+1,105*0,1=1,508752816

?4=z4+1/2=1,508752816 ?4=2*0,9-
2,03+1,5=1,27546 y5=1,893+1,5*0,2=2,195216163 z5=1,398+1,275*0,2=1,65336416