Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

(18) Центр вписанной сферы совпадает с центром описанной.

(19) Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около них окружностей.

(20) Сумма внешних единичных векторов, перпендикулярных к граням, равна
0 (рис. 4).

(21) Сумма косинусов всех двугранных углов равна 2.

Все перечисленные условия являются одновременно и свойствами и признаками равногранного тетраэдра. Чтобы вывести равногранность из какого- нибудь условия, надо выстроить целую цепочку промежуточных условий, в которой каждое прямое следствие предыдущего.

Проще всего устанавливается, что (0)(1)(2)(3)(4).

Докажем (0)(1).

. (0)=>(1).
Все грани тетраэдра АВСD равны по условию. Рассмотрим треугольники АDВ и
DАС: АD – общая, тогда АВ равна либо DС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует АС=DВ; а из равенства треугольников АDВ и
СВD следует АD=ВС, т.е. скрещивающиеся рёбра попарно равны), либо АС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует DВ=DС, т.е. треугольник – равнобедренный, а остальные – нет, т.е. противоречие)

. (0)(2).
Из (1) следует, что треугольники АВD, СDВ, ВАС (рис.1) равны (доказано выше). Тогда равны и соответствующие углы треугольников, т.е. трёхгранные углы ВАСD, АВСD, САВD, DАВС равны, т.к. любой трёхгранный угол однозначно определяется своими тремя плоскими углами.
Т.к. трёхгранный угол однозначно определяется своими тремя плоскими углами, то сдедующие доказательства будут аналогичны предудущему.

Дальше можно рассуждать по следующей схеме: (4)=>(5)=>(6)=>(1) (откуда уже следует равносильность первых шести условий).
Докажем (4)=>(5).

. Из условия следует, что углы ADB=ACB, ADC=ABC, BDC=BAC. Тогда треугольники ABC, ADC, ADB, BCD подобны, но треугольники ADB и DAC имеют общую сторону, т.е. они равны, аналогично равны екжду собой и остальные треугольники, т.е. тетраэдр – равногранный.

Докажем (5)=>(6).

. Разрежем тетраэдр АВСD по рёбрам АВ, АС, АD и рассмотрим развёртку

А1ВА2DА3С (рис. => ), тогда в точках В, С и D приложены по три угла, сумма которых 180°, поэтому углы А1ВА2, А2ОА3, А3СА1 — развернутые; значит, А1А2А3 — треугольник, содержащий точки В, С, D и являющийся разверткой тетраэдра АВСD, Для остальных разверток рассуждение аналогично.

Докажем (6)=>(1).

. Посмотрев на рисунок можно увидеть, что на развёртке (например треугольник) скрещивающиеся рёбра являются противоположными сторонами параллелограмма, т.е. они равны.

Наш следующий шаг - доказательство равносильности (1)(7).
Докажем (1)(7).
В самом деле, поскольку скрещивающиеся ребра тетраэдра — диагонали граней описанного параллелепипеда, из попарного равенства ребер следует, что грани описанного параллелепипеда — прямоугольники и наоборот.

Теперь мы предлагаем рассуждать по схеме (7)=>(8)=>(9)=>(10)=>(7).
Докажем (7)=>(8).

. Взглянув на (рис. =>), вы легко установите, что осями симметрии являются прямые, соединяющие центры симметрии противоположных граней описанного (прямоугольного) параллелепипеда, или, что здесь то же самое, общими перпендикулярами скрещивающихся рёбер.

Докажем (8)=>(9).

. Общими перпендикулярами скрещивающихся рёбер являются отрезки соединяющие середины противоположных граней описанного параллелограмма

(прямоугольного) (рис. ^), а это значит, что эти отрезки попарно перпендикулярны (т.к. каждый из отрезков перпендикулярен граням, которые он соединяет).

Докажем (9)=>(10).

. Отрезки, соединяющие середины скрещивающихся рёбер – перпендикулярны, но это и есть средние линии.

Докажем (10)=>(7).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты по предметам, шпаргалки.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата