Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

.

Следующая цепочка рассуждений (0)=>(11),(12),(13),(14),(15). Мы докажем, что (11)=>(1), (12)=>(3), (13)=>(12), (14)=>(1), (4)=>(15); тем самым будет установлена равносильность первых 15 свойств.
Докажем (11)=>(1).

. Запишем условие (11) в виде a2+b2+c2 (1) =a2+b1+c1 (2) =b2+a1+c1 (3)

=c2+a1+b1 (4), где a1b1c1 – длины рёбер тетраэдра, исходящих из одной вершины, a2b2c2 – длины соответственно скрещивающихся с ними рёбер.

(1)-(2)=(3)-(4) или b2+c2-b1-c1=b2+c1-c2-b1, т.е. 2с2=2с1 или по- другому с2=с1, рассуждая аналогично для a1,a2,b1,b2, получаем a1=a2, b1=b2, c1=c2, а это и есть запись условия (1).

Докажем (12)=>(3).

. Для этого утверждения предварительно заметим, что S4=S1c14+S2c24+S3c34

(**), где Si - площади i-й грани, а сij – косинус двугранного угла между i-й и j-й гранью. Соотношение (**) сразу следует из теоремы о площади проекции, если спроектировать все грани тетраэдра на четвёртую грань. Написав ещё три таких соотношения (для трёх других граней) и воспользовавшись условием (12), приходим к системе с14+с24+с34=с13+с23+с34=с12+с23+с24=с12+с13+с14, которая решается точно так же как система из предыдущего утверждения. Получим с14=с23, с24=с14, с34=с12 , откуда следует равенство соответствующих углов, т.е. (3).

Докажем (13)=>(12).

. Утверждение очевидно следует из формулы для объёма тетраэдра V=Sh/3:

S1h1/3=S2h2/3=S3h3=S4h4/3 S1=S2=S3=S4 по условию => h1=h2=h3=h4.

Докажем (14)=>(1).

. Обозначим через Оi центр тяжести i-й грани и выразим |DO4| через стороны /DA/=/a/, /DB/=/b/, /DC/=/c/ (рис. =>). /DO4/ = =/DA/ + +

/AO4/ = /DA/ + 2/3*/AE/ = /DA/ + 2/3*1/2*(/AB/ + /AC/) = =

1/3*(/DA/ + /AB/) + 1/3*(/DA/ + /AC/) + 1/3*/DA/ = 1/3*/DA/ + +

1/3*/DB/ + 1/3*/DC/ = 1/3*(/a/+/b/+/c/). Отсюда находим скалярный квадрат вектора /DO4/ :

(DO4)2=1/9*(a2+b2+c2+2/a/*/b/+2/a/*/c/+2/b/*/c/). Обозначив a1=|a|, b1=|b|, c1=|c|, a2=|BC|, b2=|AC|, c2=|AB| и воспользовавшись тем, что

/AB/=/b/-/a/, /BC/=/c/-/b/, /CA/=/a/-/c/, можно DO4 выразить в виде

(DO4)2 = 1/3*((a1)2+(b1)2+(c1)2) + 1/9*((a2)2+(b2)2+(c2)2).

Напишем ещё три таких соотношения для трёх остальных граней:

(DO3)2=1/3*((a2)2+(b2)2+(c1)2) + 1/9*((a1)2+(b1)2+(c2)2);

(DO2)2=1/3*((a2)2+(b1)2+(c2)2) + 1/9*((a1)2+(b2)2+(c1)2);

(DO1)2=1/3*((a1)2+(b2)2+(c2)2) + 1/9*((a2)2+(b1)2+(c1)2).

По условию DO1=DO2=DO3=DO4 приравняем, например, DO1=DO2, получаем :

1/3*((a1)2+(b2)2+(c2)2) + 1/9*((a2)2+(b1)2+(c1)2) =

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты по предметам, шпаргалки.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата