Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

1/3*((a2)2+(b1)2+(c2)2) + 1/9*((a1)2+(b2)2+(c1)2),

1/3*(a1)2 + 1/3*(b2)2 + 1/9*(a2)2 + 1/9*(b1)2 = 1/3*(a2)2 + 1/3*(b1)2

+ 1/9*(a1)2 + 1/9*(b2)2,

2/9*(a1)2 + 2/9*(b2)2 = 2/9*(a2)2 + 2/9*(b1)2,

(a1)2 + (b2)2 = (a2)2 + (b1)2 (***),

Приравняв DO3=DO4, получаем :

1/3*((a2)2+(b2)2+(c1)2) + 1/9*((a1)2+(b1)2+(c2)2) =

1/3*((a1)2+(b1)2+(c1)2) + 1/9*((a2)2+(b2)2+(c2)2),

1/3*(a2)2 + 1/3*(b2)2 + 1/9*(a1)2 + 1/9*(b1)2 = 1/3*(a1)2 + 1/3*(b1)2

+ 1/9*(a2)2 + 1/9*(b2)2,

2/9*(a2)2 + 2/9*(b2)2 = 2/9*(a2)2 + 2/9*(b1)2,

(a2)2 + (b2)2 = (a1)2 + (b1)2 вычитая из этого равенства (***) получаем :

(a2)2-(a1)2 = (a2)2-(a1)2, т.е. получаем, что (a2)2=(a1)2 , аналогично находим (b2)2=(b1)2, (c2)2=(c1)2, т.е. получим (1).

Докажем (4)=>(15).

. Углы ADB и АСВ опираются на равные хорды в равных окружностях, поэтому они равны или составляют в сумме 180°. Предположим сначала, что для каждой пары углов граней тетраэдра, опирающихся на одно ребро, имеет место равенство углов. Тогда, например, сумма плоских углов при вершине D равна сумме углов треугольника АВС, т.e. равна 180°. Сумма плоских углов при любой вершине тетраэдра равна 180°, поэтому он равногранный (свойство (5)).

Докажем теперь, что случай, когда углы ADB и АСВ не равны, невозможен.

Предположим, что углы ADB + АСВ = 180° и угол ADB не = АСВ. Пусть для определенности угол ADB тупой. Поверхность тетраэдра ABCD можно так

«развернуть» на плоскость АВС, что образы Dа, Db и Dc точки D попадут па описанную окружность треугольника АВС; при этом направление поворота боковой грани вокруг ребра основания выбирается в соответствии с тем, равны ли углы, опирающиеся на это ребро, или же они составляют в сумме 180°. В процессе разворачивания точка D движется по окружностям, плоскости которых перпендикулярны прямым АВ,

ВС и СА. Эти ок ружности лежат в разных плоскостях, поэтому любые две из них имеют не более двух общих точек. Но две общих точки есть у каждой пары этих окружностей: точка D и точка, симметричная ей относительно плоскости АВС. Следовательно, точки Dа, Db и Dc попарно различны. Кроме того, ADb=ADc, BDa=BDc, CDa=CDb. Развертка выглядит следующим образом: в окружность вписан треугольник ADcB с тупым углом

Dc; из точек А и В проведены хорды ADb и BDa, равные ADc и BDc соответственно; С — середина одной из двух дуг, заданных точками Da и

Db. Одна из середин этих двух дуг симметрична точке Dc относительно прямой, проходящей через середину отрезка АВ перпендикулярно ему; эта точка нам не подходит. Искомая развертка изображена на рис. . Углы при вершинах Da, Db и Dc шестиугольника ADcBDaCDb дополняют до 180° углы треугольника АВС, поэтому их сумма равна 360°. Но эти углы равны плоским углам при вершине D тетраэдра ABCD, поэтому их сумма меньше

360°. Получено противоречие.

Докажем остальные пять свойств

Докажем (16).

. Пусть К и L — середины ребер А В и CD, О — центр тяжести тетраэдра, т.e. середина отрезка KL. Так как О — центр описанной сферы тетраэдра, то треугольники АОВ и COD равнобедренные, с равными боковыми сторонами и равными медианами ОК и OL. Поэтому треугольники АОВ = СОD, а значит,

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты по предметам, шпаргалки.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата