Claw.ru | Рефераты по математике | Разбиение чисел Разбиение чисел | Категория реферата: Рефераты по математике | Теги реферата: продукт реферат, конспект | Добавил(а) на сайт: Pechenikov. Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13	(–1)q² tq²,
q=–∞

и мы получаем следующую формулу:

(1 – t)(1 – t2)(1 – t3) ... (1 + t)(1 + t2)(1 + t3) ...

= 1 – 2t + 2t4 – 2t9 + 2t16 – ...

Подстановка u = t, v = 1 в формулу Гаусса–Якоби аналогичным образом приводит к формуле:

(1 – t2)(1 – t4)(1 – t6) ... (1 – t)(1 – t3)(1 – t5) ...

= 1 + t + t3 + t6 + t10 + ...

Эти две формулы получены Гауссом. Нечего и говорить, что это удивительно красивые формулы!

Тождества Роджерса–Рамануджана

В заключение я хочу познакомить вас с двумя знаменитыми тождествами теории разбиений, для которых до сих пор не найдено прозрачных доказательств, хотя эта задача и по сей день остаётся в сфере интересов многих математиков.

Первое тождество. Число разбиений натурального числа п, в которых разность между любыми двумя частями превосходит единицу, равно числу разбиений числа п на части, дающие при делении на 5 остаток 1 или 4.

Второе тождество. Число разбиений натурального числа п, в которых разность между любыми двумя частями и каждая часть превосходят единицу, равно числу разбиений числа п на части, дающие при делении на 5 остаток 2 или 3.

Конечно, закономерность, утверждаемая этими тождествами, в высшей степени красива и нетривиальна, и неудивительно, что крупнейший английский математик начала XX века Г. Харди, узнавший о них из письма Рамануджана, датированного 16 января 1913 года, пришёл в восхищение. *)

При чтении этой статьи у вас, может быть, сложилось впечатление, будто теория разбиений напоминает кунсткамеру, в которую заботливо собраны различные экзотические экспонаты, никак или почти никак между собой не связанные. До недавнего времени так оно и было. Ситуация коренным образом изменилась лишь в 70-х годах XX века, когда английскому математику Яну Макдональду удалось найти единый подход к доказательству большого класса тождеств теории разбиений и открыть много новых, объединив их в стройную теорию (тождество Гаусса–Якоби включается в неё). **) Для тождеств Роджерса–Рамануджана и многих аналогичных тождеств общего подхода не найдено, хотя в последнее время и появились алгебраические методы их доказательств. Так что, понимание истинной природы этих тождеств, вероятно, ещё впереди.

Скачали данный реферат: Venedikt, Чукреев, Нонна, Apollonija, Kirichenko, Таушев.
Последние просмотренные рефераты на тему: реферат на тему менеджмент, курсовик, новые сочинения, сочинение отец.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13