РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: доклад африка, дипломная работа формирование
| Добавил(а) на сайт: Урусов.

Приложение 3 …………………………………………………………………24

Приложение 4 …………………………………………………………………25

ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях науки и техники , а также отраслях наукоемкой промышленности , таких как : авиационная , космическая , химическая , энергетическая , - являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов , с дальнейшей их коррекцией .

Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов , таких как : метод прогноза и коррекции , метод Адамса-
Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , и др. При этом , стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования , на произвольном промежутке времени . Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага , что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования .

Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов , является важнейшей вспомогательной научно- технической задачей .

Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :

[pic] (1.1)

тогда как :

А = [pic]

(1.2)

где А заданная матрица размером N x N .
[pic] - вектор с N координатами , который подлежит определению ;
N – произвольное целое число ;
[pic]

- заданные вектора правых частей с N координатами .

С использованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка , необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов . Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом , на заданных временных промежутках ..

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

2.1. Метод прогноза и коррекции

Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши , а именно к численным решениям многошаговыми методами .

Рассмотрим задачу Коши :

[pic] , [pic]

(2.1.1)
Подставим в (2.1.1) точное решение y(x) , и проинтегрируем это уравнение на отрезке [pic] , тогда получим :
[pic] (2.1.2)

где в последнем член предполагаем , что p(x) полином , аппроксимирующий f(x,y(x)) . Чтобы построить этот полином , предположим
, что [pic] - приближения к решению в точках [pic] . Будем считать для начала , что узлы Xi расположены равномерно с шагом h . тогда fi = f(xi,yi), ( i=k,k-1,k-2,…,k-N) есть приближения к f (x,y(x)) в точках [pic] и мы в качестве P возьмем интерполяционный полином для выбора данных (xi,fi) ,
( i =k,k-1,k-2,…,k-N) . Таким образом , P – полином степени N , удовлетворяющий условиям P(xi)=fi , ( i = k,k-1,k-2,…,k-N) . В принципе
, можем проинтегрировать этот полином явно , что ведет к следующему методу
:

[pic]

(2.1.3)