Сфера Sⁿ

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: рассказы, промышленность реферат
| Добавил(а) на сайт: Арсеньев.

Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 | Следующая страница реферата

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства Минковского.

Функцию, определённую на парах точек некоторого множества и обладающую свойствами a), b), c), d), называют метрикой или расстоянием в .

Множество вместе с фиксированной в нём метрикой называют метрическим пространством.

Таким образом, мы превратили в метрическое пространство, наделив метрикой, заданной соотношением (1).

Из соотношения (1) следует, что при

(2)

т. е. расстояние между точками мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.

Из (2), как и из (1), видно, что при множество совпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел.

ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В

Определение 1. При множество

называется шаром с центром радиуса или также -окрестностью точки .

Определение 2. Множество называется открытым в , если для любой точки найдётся шар такой, что .

Пример 1. – открытое множество в .

Пример 2. – пустое множество – вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е. – открытое множество в .

Пример 3. Шар – открытое множество в .

Действительно, если , т. е. , то при будет , поскольку

Пример 4. Множество , т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной точки на расстояние больше чем является открытым, что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенство треугольника для метрики.

Определение 3. Множество называется замкнутым в , если его дополнение в является множеством, открытым в .

Пример 5. Множество , т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной точки не больше чем на , является замкнутым, что следует из определения 3 и примера 4. Множество называют замкнутым шаром с центром радиуса .