СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинение рассуждение, российская федерация реферат
| Добавил(а) на сайт: Femistokl.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Исходные тексты программы 40

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. контрольный пример 45

ВВЕДЕНИЕ

Метод наименьших квадратов обычно используется как составная часть некоторой более общей проблемы. Например, при необходимости проведения аппроксимации наиболее часто употребляется именно метод наименьших квадратов. На этом подходе основаны: регрессионный анализ в статистике, оценивание параметров в технике и т.д.

Большое количество реальных задач сводится к линейной задаче наименьших квадратов, которую можно сформулировать следующим образом.

Пусть даны действительная m(n–матрица A ранга k(min(m,n) и действительный m–вектор b. Найти действительный n–вектор x0, минимизирующий евклидову длину вектора невязки Ax–b.

Пусть y – n–мерный вектор фактических значений, x – n–мерный вектор значений независимой переменной, b – коэффициенты в аппроксимации y линейной комбинацией n заданных базисных функций (:

[pic].

Задача состоит в том, чтобы в уравнении подобрать такие b, чтобы минимизировать суммы квадратов отклонений e=y–Xb, где X – есть так называемая матрица плана, в которой строками являются n–мерный вектора с компонентами, зависящими от xj: [pic] каждая строка соответствует определенному значению xj. Коэффициенты можно найти решая нормальные уравнения [pic], откуда [pic]. Покажем это. Возведем в квадрат выражение для е:

[pic] т. к. [pic].

Это выражение имеет экстремум в точке, где [pic]=0

Откуда и получаем [pic].

Следует отметить, что последнее выражение имеет в определенной степени формальный характер, т. к. решение нормальных уравнений, как правило, проводится без вычисления обратной матрицы (метод Крамера) такими методами как метод Гаусса, Холесского и т. д.

Пример. Пусть заданы результаты четырех измерений (рис. 1): y=0 при x=0; y=1 при x=1; y=2 при x=3; y=5 при x=4. Задача заключается в том, чтобы провести через эти точки прямую [pic] таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальна. Запишем уравнение, описывающее проведение прямой [pic] по результатам измерений. Мы получаем переопределенную систему:

[pic] или Xb=y. Нам понадобится матрица XTX и обратная к ней:

[pic]

Тогда решение b=(XTX)-1XTy по методу наименьших квадратов будет иметь вид [pic]

Таким образом, оптимальная прямая задается уравнением [pic] Метод точечной квадратичной аппроксимации (метод наименьших квадратов) не предполагает, что мы должны приближать экспериментальные данные лишь с помощью прямых линий. Во многих экспериментах связи могут быть нелинейными, и было бы глупо искать для этих задач линейные соотношения. Пусть, например, мы работаем с радиоактивным материалом. Тогда выходными данными у являются показания счетчика Гейгера в различные моменты времени t. Пусть наш материал представляет собой смесь двух радиоактивных веществ, и мы знаем период полураспада каждого из них, но не знаем, в каких пропорциях эти вещества смешаны. Если обозначить их количества через С и D, то показания счетчика будут вести себя подобно сумме двух экспонент, а не как прямая:

[pic]. (1)

На практике, поскольку радиоактивность измеряется дискретно и через различные промежутки времени, показания счетчика не будут точно

[pic]

Рис. 1. Аппроксимация прямой линией.

соответствовать (1). Вместо этого мы имеем серию показаний счетчика [pic] в различные моменты времени [pic], и (1) выполняется лишь приближенно:

[pic]

Если мы имеем более двух показаний, m>2, то точно разрешить эту систему относительно C и D практически невозможно. Но мы в состоянии получить приближенное решение в смысле минимальных квадратов.