СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинение рассуждение, российская федерация реферат
| Добавил(а) на сайт: Femistokl.

Лемма. Пусть дан 2–вектор [pic], причем [pic] либо [pic].Существует ортогональная 2(2 матрица такая, что:

[pic] (8)

Доказательство. Положим:

[pic].

Далее прямая проверка.

Матрица преобразования представляет собой матрицу вращений

[pic] или отражений

[pic]

1.3. Ортогональное преобразование Хаусхолдера

Применяется для преобразования матриц к диагональному виду. Матрица преобразования представляет из себя следующее выражение: [pic],

(9) или, если вектор v нормирован, т.е. используется вектор единичной длины
[pic], то [pic]. В обоих случаях H – симметричная и ортогональная матрица.
Покажем это:

[pic].

Отсюда следует: что [pic], т.е. симметричность и ортогональность. В комплексном случае матрица [pic] эрмитова[1] и унитарна[2]. Предположим, что дан вектор х размерности m, тогда существует матрица H такая, что
[pic], где

[pic] а ( = +1, при положительной первой компоненте вектора х и = –1, при отрицательной.

Доказательство. Положим [pic] действительная матрица. Любую действительную матрицу можно привести в треугольному виду

[pic]

Далее принимаем во внимание то, что [pic] и получаем следующее:

[pic]

1.4. Сингулярное разложение матриц

Пусть X – матрица данных порядка Nxp, где N>p, и пусть r – ранг матрицы
X. Чаще всего r=p, но приводимый ниже результат охватывает общий случай, он справедлив и при условии r