Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата

4.2.2 Кванторы.

В алгебре предикатов наряду с операциями логики высказываний важнейшую роль играют операции, называемые кванторами. Именно употребление кванторов делает алгебру предикатов значительно более богатой, чем алгебру высказываний. Кванторы соответствуют по смыслу тому, что на обычном языке выражается словами «все» («для каждого», «для всех» и т. п.) и «существует» («некоторый», «найдется» и т. п.).

Понятие, обозначаемое словом «все», лежит в основе квантора всеобщности (или квантора общности). Если через Гр (X) обозначен предикат «X есть грек», определенный на множестве М всех людей, то из этого предиката с помощью слова «все» мы можем построить высказывание «Все люди – греки» (конечно, ложное высказывание). Это пример применения квантора всеобщности.

Вообще же квантор всеобщности определяется так. Пусть Р (X) – какой-нибудь предикат. Тогда квантор всеобщности – это операция, которая сопоставляет Р (X) высказывание

«Все X обладают свойством Р (X)». (*)

Для этой операции («все») употребляется знак  (перевернутая латинская буква А, напоминающая о немецком слове «alle» или английском «all» – все). Высказывание (*) записывается так: (X)P(X) (читается: «для всех X Р от X»). В соответствии со смыслом слова «все» (X)Р(X) – ложное высказывание, кроме того единственного случая, когда Р (X) тождественно-истинный предикат.

Наряду с квантором всеобщности в логике предикатов рассматривается другой квантор – «двойственный» ему квантор существования, обозначаемый знаком  (это перевернутая латинская буква E, напоминающая немецкое слово «existieren» или английское «exist» — существовать):

 (Х)Р(Х)

(читается: «существует такое X, что Р от X») – высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда Р истинно по меньшей мере для одного объекта а из области определения М. Тем самым (X)Р(X) – истинное высказывание для всех предикатов Р (X), кроме одного – тождественно-ложного.

Между кванторами  и  имеют место отношения равносильности, позволяющие сводить любой из этих кванторов к другому: ù (X) P(X) Û(X) ù P(X) («Неверно, что все X обладают свойством Р (X)» равносильно тому, что «Существует такой объект X, для которого истинно не Р (X)»). Отсюда имеем: (X) Û ù(X)ù P(X). Аналогично, имеет место двойственный закон: ù (X) P(X) Û (X)ù P(X). («Неверно, что существует X, обладающее свойством Р (X)» равносильно «Все X обладают свойством не Р (X)»).

Отсюда (X)Р(X)Ûù(X)ùP(X). Эти равносильности называют правилами де Моргана для кванторов.

С помощью квантора существования легко выражается суждение типа «Некоторые Р суть Q» (например, «Некоторые англичане курят», «Некоторые нечетные числа – простые» и т. п.), т. е. что по крайней мере один объект а, обладающий свойством Р, обладает также свойством Q. Этот факт записывается формулой (X)(Р(X)ÙQ(X)) («Существует такой X, что Р от X и Q от X»).

Аналогично с помощью кванторов записывается ряд других отношений между одноместными предикатами.

Гораздо более богатые возможности открывает применение кванторов к многоместным предикатам. Остановимся вкратце на этом вопросе.

Пусть А (X, Y) – некоторый двухместный предикат, определенный на некотором множестве М. Квантор всеобщности и квантор существования можно применять к нему как для переменной X, так и для переменной Y: (X)А(X, У); (Y)А(X, Y); (X)А(Х,Y); (Y)A(X,Y). Переменная, к которой применен квантор, называется связанной, другая переменная – свободной. Все четыре приведенных выражения являются записями одноместных предикатов от соответствующей свободной переменной. (X)А(X,Y) (читается: «для всех X, A от X и Y») – одноместный предикат от переменной Y: (X)А (X,Y)=F(У), Он истинен в точности для тех bÎМ, для которых одноместный предикат А (X, b) истинен для всех X. Если представить предикат А (X, Y) его таблицей, то предикат F (Y) = (X) (X, Y) истинен для тех b, для которых столбец с входом b содержит исключительно букву и.

Применение квантора к одной из переменных двухместного предиката превращает его в одноместный. В случае трехместных предикатов применение квантора приводит к двухместному предикату. Аналогично и для предикатов с большим числом мест применение квантора превращает n-местный предикат в (n – 1)-местный.

К свободной переменной X одноместного предиката (У)А(X, Y) в свою очередь можно применять квантор всеобщности или квантор существования. Получаются выражения

(X)((У)А(X,У)); (X)((Y)А(X,У)), которые, опуская скобки, принято записывать несколько проще: (X)(У)А(X,У); (X)(Y)А(X,У),

Это – высказывания. Первое истинно, если все строки, а тем самым и вся таблица предикатов, содержат только букву и, второе истинно, если соответствующая матрица содержит по меньшей мере одну тождественно-истинную строку. Три другие предиката (X)А (X,У), (У)А(X, У) и (X)А (X,У) также допускают квантификацию, так что в общей сложности мы получаем из одного предиката восемь формально различных высказываний: (X)(У)А (X, У); (X)(У)А (X,У); (X)(У)А (X, У); (X)(У)А (X, У); (У)(X) А (X, У); (У)(X)А(X, У); (У)(X)А (X, У); (Y) (X) А (X, У).

Нетрудно убедиться в том, что четыре высказывания, содержащие одинаковые кванторы, попарно эквивалентны:

(X)(У)А(X,У) Û(У)(X)А (X, У);

(X)(У)А (X, У) Û (Y)(X)А (X, У).

(X)(У)А(X,У) так же как и (У)(X)А(X, У), истинно тогда и только тогда, когда А (X, У) – тождественно-истинный предикат, (X)(У)А (X, У) и (Y)(X)А(X,У) оба истинны во всех случаях, кроме одного, когда А(X,У) – тождественно-ложный предикат. Все остальные высказывания существенно различны. Особенно следует помнить, что порядок следования разноименных кванторов очень важен.

Я считаю, что к окончанию школы ученики должны овладеть кванторами, но введение их должно быть постепенным и начинаться в простых ситуациях. Учащиеся должны хорошо понимать, что от перестановки кванторов может меняться смысл утверждения.

Например, Пусть I=(а,b) – некоторый интервал. Тогда «Для всякого хÎI существует такой у, что у = f (х)» ((x)(у) (у = f (х))), означает, что функция f(х) всюду определена на I. Напротив, «Существует такое у, что для всякого х у=f (х)» ((у)(х)(у=f(х))) означает, что функция f(x) принимает для всех х некоторое фиксированное значение у, т. е. постоянна.

Приведем еще один пример. Корректное определение периодичности всюду определенной функции f(х) выглядит с использованием кванторов так: (c)(x) (c¹0 Ù Ùf(x+c) = f(x)), между тем если переставить кванторы и сформулировать утверждение «Для каждого х существует такое с, что с¹0 и что f(х + с) =f(x)»: (c)(x) (c¹0 Ù f(x+c) = f(x)), то это означает лишь, что функция принимает каждое значение больше чем один раз, т. е. нечто совсем иное.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образ сочинение, реферат бесплатно без регистрации.





Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата