Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата

Из истинных высказываний «3 меньше 5» и «5 меньше 7» мы заключаем, что «3 меньше 7». Из истинных высказываний «Все птицы – животные» и «Все воробьи – птицы» мы делаем заключение: «Все воробьи – животные». Из высказываний «Петр – сын Ивана» и «Павел – сын Петра» мы заключаем: «Павел – внук Ивана» и т. д.

Заметим, что во всех рассмотренных примерах истинность заключения зависит не только от истинности посылок, но и от их содержания. Если изменить вид посылок, то может оказаться, что заключение будет неверным. Так (в первом примере) из истинных высказываний «3 меньше 5» и «5 не равно 7» нельзя делать заключение (которое оказывается истинным), что «3 меньше 7», или, изменив немного второй пример, из истинных высказываний «Все птицы – животные» и «Никакие рыбы не птицы» нельзя выводить ни ложное высказывание «Никакие рыбы не животные», ни истинное высказывание «Все рыбы – животные». Наконец, видоизменив последний пример, из истинных высказываний «Петр – сын Ивана» и «Павел – родственник Петра» мы не имеем права делать заключение (которое в действительности может быть как истинным, так и ложным), что «Павел – внук Ивана» (но можем вывести истинное заключение: «Павел – родственник Ивана»).

Чтобы построить систему правил, позволяющую логически выводить правильные заключения, учитывающие в какой-то мере содержание посылок, мы должны проанализировать строение простых высказываний. И здесь нам опять кое-что может подсказать грамматика. Следуя по такому пути, мы придем к разделу логики, называемому алгеброй предикатов. Она предполагает алгебру высказываний уже известной, но идет дальше: простые высказывания, из которых состоят сложные, в свою очередь расчленяются.

Теория предикатов исходит из следующей установки. Простые высказывания выражают, что некоторые объекты обладают некоторыми свойствами или находятся между собой в некоторых отношениях.

При этом понятия «свойство» и «отношение» рассматриваются как частные случаи общего понятия «предиката». Объекты, о которых говорится в высказываниях, называются «термами». Постараемся выяснить смысл этих понятий на примерах.

Рассмотрим сначала некоторое число простых предложений – высказываний, выражающих, что некоторый объект обладает некоторым свойством:

«Сократ – грек»;

«Платон – ученик Сократа»;

«Три – простое число»;

«Василий – студент» и т. д. ,

Все приведенные примеры – простые предложения, С точки зрения грамматики они состоят из подлежащего («Сократ», «Платон», «три», «Москва», «Василий») и сказуемого («есть грек», «есть ученик Сократа», «есть простое число»). Подлежащее является наименованием некоторого объекта – конкретного или абстрактного, сказуемое выражает некоторое свойство. В латинской грамматике сказуемое называется предикатом, и этим термином принято теперь пользоваться в математической логике в рассматриваемых ситуациях. Основным для алгебры предикатов является второй член предложения – сказуемое-свойство. Как же алгебра предикатов трактует понятие «свойство»? Она рассматривает его как некоторую функцию следующим образом.

Возьмем первый пример: «Сократ есть грек».

Вместо человека Сократ мы можем подставить имена всевозможных людей и будем получать всегда осмысленные предложения. Одни предложения будут истинными, другие – ложными:

«Сократ есть грек» – истинно;

«Платон есть грек» – истинно;

«Наполеон есть грек» – ложно;

«Ньютон есть грек» – ложно и т. д.

Более обще можно рассматривать выражение вида «X есть грек», где буква X указывает место, на которое нужно подставить имя некоторого человека, чтобы получить высказывание — истинное или ложное. Но, как нам уже известно, существенным свойством высказывания является его значение истинности и или л. Становясь на эту точку зрения, логика предикатов считает выражение «X есть грек» функцией, аргумент которой X пробегает класс всех людей, а сама функция принимает в качестве значений и или л. Если мы будем, как это принято в математике, «X есть грек» записывать сокращенно, например в виде Гр (X), то для значения X = Сократ получим Гр (Сократ) – и, а скажем Гр (Наполеон) – л и т. д. Относительно других приведенных примеров можно дословно повторить все то, что было сказано относительно первого.

Таким образом, предикатом или, лучше, предикатом-свойством будем считать функцию, определенную на некотором универсальном множестве и принимающую значения и и л. Те элементы, для которых значение предиката «истинно», обладают данным свойством, остальные не обладают.

Отсюда сразу видно, что в действительности всякий предикат-свойство вполне определяется подмножеством тех объектов, на которых данная функция принимает значение «истинно». Полезно привести примеры предикатов-свойств из области арифметики. Такими будут, например, свойства натуральных чисел «быть простым числом», «быть четным числом», «быть квадратом» и т. д.

Остановимся на примере «три есть простое число» и на соответствующем предикате-свойстве «быть простым числом». Введем для этого свойства сокращенное обозначение Пр (X). Предикат Пр (X) определен на множестве натуральных чисел. Имеем Пр(1) = л (поскольку 1 не принято рассматривать как простое число). Пр (2) = и, Пр (3) = и, Пр (4) = л, ..., Пр (10) = л, Пр (11) = и и т. д.

Подобно приведенным предикатам-свойствам, математическая логика рассматривает более общее понятие предиката-отношения. В зависимости от того, между каким числом объектов устанавливается отношение, мы различаем двухместные (бинарные), трехместные (тернарные) и т. д., в общем случае – n-местные отношения. Рассмотренные выше предикаты-свойства считаются унарными предикатами. Наконец, оказывается удобным в понятие предиката-отношения как частный случай включить и высказывания в качестве «0 – местных предикатов».

Все математические дисциплины имеют дело с предикатами-отношениями, причем самыми распространенными являются бинарные отношения. Они описываются, различными словами: «равны», «не равны», «больше», «меньше», «делить», «перпендикулярны», «параллельны» и т. д.

По аналогии с предикатом-свойством двухместным предикатом считается опять функция, на этот раз от двух аргументов, определенных на некотором универсальном множестве, принимающая значение и (истинно) и л (ложно): те пары элементов, для которых функция принимает значение и, находятся в рассматриваемом отношении, остальные пары в этом отношении не находятся.

Рассмотрим пример бинарного отношения, определенного на множестве натуральных чисел, а именно отношение, описываемое словом «больше». Если рассматривать это отношение как функцию от двух переменных X и Y (на множестве натуральных чисел), принимающую значения и или л в зависимости от того, будет ли соответствующее отношение выполняться или нет, то эта функция определяет предикат, который обозначим через > (X, Y). Тогда имеем, например, > (3, 2) = и, > (1, 3) = л, > (7, 5) = и и т. д. Более полно и обозримо двухместный предикаты >(Х, Y).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образ сочинение, реферат бесплатно без регистрации.





Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата