Содержание работы:

1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
2. Применение теоремы Штольца: a) [pic]; b) нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты [pic]; c) [pic]; d) [pic].

3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.
4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы

Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений [pic] типа [pic] часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта [pic], причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и [pic] возрастает: [pic]. Тогда [pic]=[pic],
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
Допустим, что этот предел равен конечному числу [pic]:

[pic].
Тогда по любому заданному [pic] найдется такой номер N, что для n>N будет

[pic] или

[pic].
Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби [pic], [pic], …, [pic],
[pic]лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь [pic], числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

[pic].

Напишем теперь тождество:

[pic],

откуда

[pic].
Второе слагаемое справа при n>N становится N, то для n>N’, очевидно, [pic], что и доказывает наше утверждение.

Примеры:
1. Пусть, например, [pic]. Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) [pic], следовательно, вместе с yn и xn[pic], причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению [pic]

[pic]
(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что [pic], что и требовалось доказать.

2. При а>1

[pic]

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:[pic]

[pic]

3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:
Если варианта an[pic]имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

[pic]
(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).
Действительно, полагая в теореме Штольца

Xn=a1+a2+…+an, yn=n,
Имеем:

[pic]
Например, если мы знаем, что [pic], то и [pic]

4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

[pic], которая представляет неопределённость вида [pic].
Полагая в теореме Штольца xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1, будем иметь