Теорема Штольца

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: куплю дипломную работу, шпоры бесплатно
| Добавил(а) на сайт: Rodion.

[pic].
Но

(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… , так что nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+… и

[pic].

5. Определим предел варианты
[pic] , представляющей в первой форме неопределенность вида [pic], а во второй – вида [pic]. Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида [pic]:

[pic].
Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

[pic].
Но [pic], а [pic], так что, окончательно,

[pic].

Пример 1.
[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=[pic]= [pic]=[pic][pic]=[pic]=[pic].

Пример 2.

[pic]=

=[pic]=

=[pic]=

=[pic]=

=[pic]=

=[pic]=

=[pic].

Пример 3.

[pic]

=[pic]

=[pic].

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.

Теорема.
Пусть функция [pic], причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т.е. функция возрастающая.

Тогда [pic], если только существует предел справа конечный или бесконечный.
Доказательство:
Допустим, что этот предел равен конечному числу k

[pic].
Тогда, по определению предела [pic]

[pic] или