Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

§ 1. Общие положения теории флюксий

Основные задачи теории Ньютон формулировал в терминах механики:

1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; «Длина проходимого пути постоянно (т. е. в каждый момент времени) дана; требуется найти скорость движения в предложенное время»

2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. «Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути»

Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциальных уравнений) Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями, то есть сразу общую задачу интегрирования дифференциальных уравнений; задача нахождения первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования дифференциального уравнения dy/dx = f(x).

Такая точка зрения была вполне естественна для Ньютона как создателя математического естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования. Для Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчисления являлись дифференциалы - бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие "момента", стремился в более поздних работах от него освободиться).

С публикации работ Г. Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрическими приложениями анализа, в которой принимали участие, кроме самого Г.
Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли, Г. Лопиталь и другие. Здесь создаётся современный стиль математической работы, при котором полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях других учёных.

Основные идеи метода флюксий сложились у Н. под влиянием трудов П.
Ферма, Дж. Валлиса и его учителя И. Барроу в 1665-66. К этому времени относится открытие Ньютоном взаимно обратного характера операций дифференцирования и интегрирования.

В понятиях и терминологии метода флюксий с полной отчётливостью отразилась глубокая связь математических и механических исследований
Ньютона. Понятие непрерывной математической величины Ньютон вводит как абстракцию от различных видов непрерывного механического движения. Линии производятся движением точек, поверхности - движением линий, тела - поверхностей, углы - вращением сторон и т.д. Переменные величины Ньютон назвал флюентами (текущими величинами, от лат. fluo - теку). Общим аргументом текущих величин - флюент - является у Ньютона "абсолютное время", к которому отнесены прочие, зависимые переменные. Скорости изменения флюент Ньютон назвал флюксиями, а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент - "моментами" (у Лейбница они назывались дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределённого интеграла). И. Ньютон в своём методе флюксий и флюент (1666 и следующие гг.) ввёл знаки для последовательных флюксий (производных) в виде

[pic] и для бесконечно малого приращения o

Время Ньютон понимал как общий аргумент, к которому отнесены все переменные величины. Систему величин х, у, z,..., одновременно изменяющихся непрерывно в зависимости от времени, он называл флюентами (лат. fluens – текущий, от fluo – теку), скорости, с которыми изменяются флюенты, – флюксиями (лат. fluxio – истечение): [pic], [pic], [pic]. Т. о., флюксии являются производными флюент по времени. Бесконечно малые изменения флюент
Ньютон назвал моментами (понятие момента в Ф. и. соответствует дифференциалу), момент независимого переменного он обозначил знаком о, момент флюенты х – знаком xo.

Представление о существе операции отыскания флюксий, особенностях символики и о ходе рассуждений Ньютона можно получить из следующих примеров:

Пример 1.

«Если соотношение между текущими величинами x и y выражается уравнением

|f(x,y) = x3 + ax2 + axy - y3 =|
|0, |
| |

то сперва расположи члены по x, а затем по y и помножь их, как указано ниже( Звездочкой Ньютон обозначает члены, которые можно отбросить, но которые потребуются в дальнейшем. ).

[pic]

Сумма произведений есть

[pic] и это уравнение показывает, какое соотношение существует между флюксиями [pic] и [pic]. (У Ньютона нет других формул, кроме
|(xn)’= nxn-1. |
| |

Нет у него формул производной произведения, дроби и сложной функции.
(В "Математических началах натуральной философии", впрочем, дается формула для момента произведения.) Что производная суммы равняется сумме производных слагаемых, представляется ему совершенно очевидным. Основное правило Ньютона это не что иное, как правило определения производной полинома f(x, y) по t, когда x, y суть функции от t (t у него время). Мы будем писать, если
|f(x,y) = x3 + ax2 + axy - y3 =|
|0, |
| |

что [pic], где [pic] [pic]

Ньютон предлагают находить эти[pic] , [pic] следующим образом: члены с x3, x2, x, x0 умножаются на 3xx’/x, 2xx’/x, xx’/x, 0/x, а члены с y2, y, y0 на 2yy’/y, yy’/y, 0/y)»

§ 2. Решение проблем теории флюксий

В "Методе флюксий..." (1670-1671) Ньютон формулирует две основные взаимно-обратные задачи анализа:

1) определение скорости движения в данный момент времени по известному пути, или определение соотношения между флюксиями по данному соотношению между флюентами (Современная формулировка: какому дифференциальному уравнению удовлетворяют функции

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад на тему язык, компьютерные рефераты.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата